Задача по теорверу/случайным процессам

[Малкин Станислав]

\left\{ \xi_n \right\} - независимые експоненциальные случайные величины с параметром \lambda. Пусть \epsilon : \left| \epsilon \right|< \lambda . \varphi_n = \ln n, A_n = \left\{ \omega: \xi_n (\omega) \geqslant (\lambda + \epsilon)\varphi_n \right\}. Доказать, что P(\lim \sup A_n) = 0

Помогите хоть подходом к этой задаче пожалуйста!

[Малкин Станислав]

Неужели никто не знает?

[Горьковчанин]

Вообще очень похоже на событие $A_3$ у Ширяева (Вероятность, гл. IV, параграф 1. Закон нуля и единицы.)

[Малкин Станислав]

Горьковчанин писал(а):

Вообще очень похоже на событие $A_3$ у Ширяева (Вероятность, гл. IV, параграф 1. Закон нуля и единицы.)

Да, но у нас же четко сформулирована задача - доказать, что = 0, а не "или .. или". Может я чего-то не так понимаю?

Если еще кто-то подскажет, где можно скачать в электронном виде Ширяева - буду очень благодарен!

[Горьковчанин]

Цитата:" Будем теперь предполагать, чторассматриваемые случайные величины являются независимыми. При этом допущении из леммы Бореля-Кантелли следует, что $P(A_3)=0 \Longleftrightarrow \sum P(\xi_n\in I_n)<\infty$... ( там же, двумя абзацами ниже определения $A_n$).

[Малкин Станислав]

Как это помогает решить мою задачу ? Я не понимаю

Дело в том, что книги этой у меня нет и достать я ее не могу - пытался искать, где в интернете можно скачать - поиски закончились неудачей к сожалению

[Горьковчанин]

1. Плохо искали. Она в интернете есть, например, в lib.homelinux.org.
2. Ключевое слово - лемма Бореля-Кантелли. Она дает способ различить, какую вероятность (0 или 1) имеет lim sup последовательности событий (в общих чертах). Лемма достаточно распространена в книгах по теории вероятностей.
3. Ряд $\sum_n P(\xi_n\geqslant (\lambda+\varepsilon)\ln n)$ сходится или расходится в зависимости от $\lambda$ и $\varepsilon$. В первом случае вероятность равна 0, во втором - 1. Так что на самом деле что-то смущает в постановке вашей задачи...

[Малкин Станислав]

Задача поставлена именно так - ее нам задали , как зачетное задание

[Малкин Станислав]

Защита работы выявила две ошибки:

1. Я забыл написать сюда еще одно условие : \epsilon > 0
2. В условии была ошибка:

A_n = \left\{ \omega: \xi_n (\omega) \geqslant ( \lambda + \epsilon)\varphi_n \right\}

а нужно :

A_n = \left\{ \omega: \xi_n (\omega) \geqslant ( \frac 1 \lambda + \epsilon)\varphi_n \right\}

Горковчанин, Вам спасибо за помощь и в том, что дали правильное направление решения - задачу в итоге с этими исправлениями - решил. Если кого-то интересует решение - пишите, напишу ( хотя сомневаюсь, что кому-то интересно, но все-таки ).

Спасибо всем!