Интегрируемость композиции функций

[milkwacko]

Доброго времени суток.
Прошу помощи в решении следующей задачи по мат. анализу:

Доказать, что если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$, $c\le f(x) \le d$ для всех $x\in [a, b]$ и функция $g$ непрерывна на отрезке $[c, d]$, то композиция $g \circ f$ также интегрируема на $[a, b]$

Т.к. $g$ непрерывна на $[c, d]$ значит, она ограничена на этом отрезке. Тогда ограничена на том же отрезке и $g \circ f = g(f(x))$. Но будет ли композиция ограничена на $[a, b]$?

[worm2]

Что-то Вы напутали. $g \circ f$ как раз таки будет ограничена именно на $[a, b]$ (как композиция ограниченных функций, это очевидно), а не на $[c, d]$, где она может быть и не определена.

-- Вт май 19, 2009 22:09:32 --

И потом, для интегрируемости недостаточно доказать ограниченность. Для этого надо бы пойти другим путём, исходя из определения интегрируемости: рассмотреть произвольное разбиение отрезка $[a, b]$, построить по нему верхнюю и нижнюю интегральные суммы для $g \circ f$, и попробовать доказать, исходя из условий, что разность между этими интегральными суммами стремится к нулю при произвольном неограниченном измельчении разбиения.

[milkwacko]

worm2,
Я знаю, что ограниченности недостаточно. Но если функция ограничена, то можно пытаться доказать, что все ее точки на отрезке можно покрыть счетной системой интервалов сколь угодно малой длины, и тогда она интегрируема.
Что касается сумм Дарбу, затея хорошая, но я не представляю, как это сделать, поскольку функции $f$ и $g$ не заданы.

[Brukvalub]

Примените критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

[milkwacko]

Brukvalub в сообщении #215338 писал(а):

Примените критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

Применял. $f$ интегрируема, поэтому она удовлетворяет критерию Лебега. композиция $g \circ f$ непрерывна в каждой точке, в которой непрерывна функция $f$. Следует ли отсюда, что тогда $g \circ f$ удовлетворяет критерию Лебега? Если да, то каким образом?

[Brukvalub]

milkwacko в сообщении #215344 писал(а):

Следует ли отсюда, что тогда $g \circ f$ удовлетворяет критерию Лебега?

А Вы критерий Лебега-то знаете?

[milkwacko]

Brukvalub в сообщении #215349 писал(а):

milkwacko в сообщении #215344 писал(а):

Следует ли отсюда, что тогда $g \circ f$ удовлетворяет критерию Лебега?

А Вы критерий Лебега-то знаете?

Вообразите, знаю. Если $f$, определенная на сегменте $[a, b]$, и $E \subset [a, b]$ - множество ее точек разрыва, то для интегрируемости $f$ необходимо и достаточно, чтобы $E$ являлось множеством лебеговой меры 0

То есть:
Пусть $F \subset [a, b]$ - мн-во точек разрыва $f$, $G \subset [a, b]$ - мн-во точек разрыва $g \circ f$. Достаточно очевидно, что $F = G$, ибо $g$ непрерывна.
Тогда получается, что композиция удовлетворяет критерию. Я прав?

[Brukvalub]

milkwacko в сообщении #215355 писал(а):

Достаточно очевидно, что $F = G$, ибо $g$ непрерывна.

Это не только неочевидно, но и попросту неверно.

[milkwacko]

Brukvalub в сообщении #215356 писал(а):

Это не только неочевидно, но и попросту неверно.

Быть может, все же объясните, почему неверно, и поможете применить критерий Лебега?

[Brukvalub]

Возьмите всюду разрывную функцию f и примените к ней тождественную функцию, после чего проверьте Ваше "равенство":

milkwacko в сообщении #215355 писал(а):

Достаточно очевидно, что $F = G$, ибо $g$ непрерывна.

И, поменьше гонора, поменьше...

[milkwacko]

Гонора у меня нет, и вообще гонор для просящего помощь неуместен, и я это понимаю. Но это так, к слову.
Я попросил Вас помочь применить к моей задаче критерий Лебега, поскольку мне неясно, как действовать в данном случае. Если вы не можете, либо, что вероятнее, не хотите помочь - просто сообщите об этом.

[Brukvalub]

Я уже все подсказал, думайте. Вы рядом с правильным решением.

[milkwacko]

Brukvalub,
благодарю за неоценимую, без тени иронии, помощь. Искреннее спасибо