Связь между радиусами окружностей

[anermak]

Пять окружностей разных радиусов касаются друг друга , при чем четыре из них расположены вокруг пятой. Очевидно, что для любых четырех боковых окружностей (я про А,B,C,D) найдется только одна окр. О, для которой такое взаимное касание возможно.

Требуется:
или
1) найти связь между радиусами окружностей( наподобии ур-ия Содди для трех окружностей, касающихся друг друга, вокруг четвертой)
или
2) построить такую систему окружностей с помощью циркуля и линейки, зная только радиусы 4-х боковых (А,В,С,D)
или
3) зная только радиусы 4-х боковых окружностей (А,В,С,D)четырехугольник для которого, такая пятая окружность существует.
Вот, в общем-то и все...

Заранее спасибо за помощь....

[maxal]

В случае четырех окружностей, вписанная окружность называется внутренней окружностью Содди:
http://mathworld.wolfram.com/InnerSoddyCircle.html

Если вокруг 4-х внешних окружностей можно описать окружность, касающуюся всех 4-х, то они образуют цепь Штейнера длины $n=4$:
http://mathworld.wolfram.com/SteinerChain.html

[anermak]

maxal На счет окружности Содди, как и ур-ие зав-ти радиусов я знаю, не в том вопрос, оно для 4-х окр-тей или 5-ти сфер, да и Госсет «исчерпал» проблему Содди, доказав ее обобщение для «n – мерных гиперсфер»....
А на счет цепи Штейнера... Взять к примеру ромб(частный случай) удовлетворяет всем условиям, но вокруг боковых внешних окружностей окружность не описать, так что это сугубо частные случаи

Если же Вы имеете ввиду окружности вписанные в AOD,DOC,COB,BOA , то согласен они действительно образуют цепь Штейнера, так как касаются окружности, вписанной в сам четырехугольник ABCD, но что это нам дает

Мне кажется, что нужно исследовать вписанный четырехугольник klmn...
А что делать, пока не обнаружил буду искать...
Спасибо за комментарий, буду рад любым идеям...

[BVR]

Цитата:

Очевидно, что для любых четырех боковых окружностей (я про А,B,C,D) найдется только одна окр. О, для которой такое взаимное касание возможно.

А разве для любых 4-х внешних окружностей существует такая внутренняя?
Просто хочу уточнить. Можно ли эту задачу трактовать так: Дано четыре касающихся друг дружки окружности ( как на Вашем рисунке A, B, C, D). Надо с помощью циркуля и линейки вписать "внутрь" пятую, при условии, что она существует?
Я вот подумал, что если такая пятая окружность построена, то при инверсии относительно неё образы тех четырёх образуют цепочку Штейнера....

-- Вт июн 09, 2009 16:40:40 --

А нет. Не образуют. Они же ещё должны касаться ещё одной окружности.

[nn910]

Упражняемся в инверсиях. Пусть 5 окружностей удовлетворяют условию. На прямой АС выберем центр инверсии Х такой, что окружности А и С перейдут в окружности равных радиусов. Тогда радиус образа искомой окружности связан с радиусами образов остальных 4-х считаемым соотношением (три равнобедренных треугольника дают 2х2 систему 2 порядка.Неизвестные у меня были радиус образа искомой и расстояние от ее центра до прямой АСХ). Расстояния от центра каждой из 5 до Х тоже можно выразить. Тогда остается выразить радиусы образов через радиусы прообразов и возможно выйдет формула попроще Содди (считайте)

[Батороев]

anermak в сообщении #215053 писал(а):

Мне кажется, что нужно исследовать вписанный четырехугольник klmn...
А что делать, пока не обнаружил буду искать...
Спасибо за комментарий, буду рад любым идеям...

Как мне кажется, можно исследовать треугольник, образованный соединением точек касания одной окружности, например $D$, с тремя другими окружностями (точки $k, l$ и третья - необозначенная).
Допустим, имеется окружность $B$. По вертикали от нее располагаем окружность $O$ произвольного радиуса. Справа и слева подводим к ним до касания еще две произвольные окружности $A$ и $C$.
После таких построений знаем, что могут существовать три точки касания окружностей $A, O, C$ с пятой окружностью. Если соединить эти точки, получаем треугольник, вокруг которого можно описать пятую окружность, если только сторона $kl$ этого треугольника не пересекает окружность $O$ или не касается ее.

[AKM]

anermak в сообщении #215010 писал(а):

Очевидно, что для любых четырех боковых окружностей (я про А,B,C,D) найдется только одна окр. О, для которой такое взаимное касание возможно.

По-моему, неверна сама постановка задачи.
Очевидно на самом деле только то, что для любой тройки окружностей из {A,B,C,D} найдётся две окружности Аполлония $\mathrm{Apoll}_{1,2}(\ldots)$, касающиеся всех трёх окружностей, A,B,C, например. Одна из них --- внешняя, другая, искомая, "внутренняя". А коснётся ли она окружности D --- это уж как повезёт.
Так что видится следующее:
Решаем задачу $O=\mathrm{Apoll}_1(A,B,C)$; проверяем, повезло ли: $D\stackrel?=\mathrm{Apoll}_{1,2}(A,C,O)$.

-- Чт июн 11, 2009 16:48:25 --

(Количество решений задачи Аполлония --- от 0 до 8; в данном случае, если не ошибаюсь, 2).

-- Чт июн 11, 2009 16:56:41 --

http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html

[Алексей К.]

Вполне проходит тупое решение.
Для 4-х треугольничков типа AOB пишете 4 теоремы косинусов:

$$(R_1+R_2)^2=(R_1+r)^2+(R_2+r)^2-2(R_1+r)(R_2+r)\cos\xi_1,$$

($\xi_1=\angle AOB,\;\xi_1+\xi_2+\xi_3+\xi_4=2\pi$). Исключая углы (Maple в помощь), получаете соотношение $F(r,R_1,R_2,R_3,R_4)=0$, 4-й степени по r, 2-й по $R_i$.
Т.е., для данных $R_i$ вычисляете $r$; определив углы, выясняете, как надо деформировать 4-угольник со сторонами $\{R_1+R_2,\ldots,R_4+R_1\}$, чтобы указанная конфигурация существовала.

[AKM]

А ещё заметим, что суммы противоположных сторон 4-ка необходимо равны ($a+c=b+d=\sum R_i$). Стало быть, при фиксированных точках A,B,C мы имеем некую кривую (2-го порядка) --- геометрическое место возможных точек D (возможных только в смысле обеспечения равенства $a+c=b+d$, а не в смысле обсуждаемой конфигурации из пяти окружностей).

[anermak]

AKM
а по-моему все-таки постановка задачи верна , обратите внимание на рассуждения Батороева , из них следует, что если $kl$ будет выше центральной окружности, 4-я будет всегда и в зависимости от радиуса внутренней, радиус 4-й может принимать любое значение от 0 и до бесконечности, повторяя, те же рассуждения для других троек боковых окружностей, приходим к выводу, что для любого набора длин радиусов боковых окружностей от 0 и до бесконечности, такая внутренняя окружность существует...

nn910, извините, не понял рассуждений можно по наглядней....

Алексей К.
По правде сказать, я уже с этой системой возился, только к своему стыду от косинусов избавиться так и не смог. (что такое maple не знаю). Если не сложно просветите...

[arseniiv]

Нет, не для любого набора 4-х окружностей существует пятая, касающаяся их всех.

Вряд ли можно избавиться от косинусов, когда положение окружностей относительно друг друга играет большую роль. Четыре разные окружности можно не одним способом расположить, чтобы касалась каждая двух других

[AKM]

anermak в сообщении #221938 писал(а):

AKM
а по-моему все-таки постановка задачи верна ,

Я возражал и возражаю против следующего:

anermak в сообщении #215010 писал(а):

Очевидно, что для любых четырех боковых окружностей (я про А,B,C,D) найдется только одна окр. О, для которой такое взаимное касание возможно.

$$\begin{picture}(88,50)(44,25) \put(-29,0){\circle{40}}\put(-32,-4){A} \put(29,0){\circle{40}}\put(24,-4){C} \put(0,14){\circle{22}}\put(-3,10){B} \put(0,-14){\circle{22}}\put(-3,-18){D} \end{picture} $$

Из картинки очевидно, что это не так? Не найдётся, как ни ищите!

Я пока не врубался в рассуждения Батороева, ибо не знаю, к какому тезису они относятся. Если к процитированному, то и врубаться не надо. Если речь идёт о какой-то возможности постепенного построения такой пятёрки - то я и так верю. А думать циркулем и линейкой разучился.

Я не буду возражать против такой постановки, если процитированную фразу удалить. Добавить глагол в п.3 и слегка передвинуть запятую (всё-таки в той позиции она сильно мешает читать) - это я для себя и сам смогу.

anermak писал(а):

3) зная только радиусы 4-х боковых окружностей (А,В,С,D)четырехугольник для которого, такая пятая окружность существует.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #221423 писал(а):

Вполне проходит тупое решение.
Для 4-х треугольничков типа AOB пишете 4 теоремы косинусов:

$$(R_1+R_2)^2=(R_1+r)^2+(R_2+r)^2-2(R_1+r)(R_2+r)\cos\xi_1,$$

($\xi_1+\xi_2+\xi_3+\xi_4=2\pi$).

Чтобы избавиться от косинусов, это текст надо переписать так:
Для 4-х треугольничков типа AOB пишете 4 теоремы косинусов:

$$(R_1+R_2)^2=(R_1+r)^2+(R_2+r)^2-2(R_1+r)(R_2+r)\dfrac{1-\tg^2\frac{\xi_1}{2}}{1+\tg^2\frac{\xi_1}{2}},$$

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^4\tg\frac{\xi_i}2=\sum_{(i,j,k)}\tg\frac{\xi_i}2 \tg\frac{\xi_j}2\tg\frac{\xi_k}2\right)$ (во второй сумме (i,j,k) пробегает значения (1,2,3), (2,3,4), (3,4,1), (4,1,3)).
Таким образом, из каждого из 4-х первых уравнений определяем тангенс, и подставляем в пятое. А упомянутый мной Maple (как и его многочисленные синонимы) как раз служит для того, чтобы не сойти с ума при этой процедуре. Хотя поначалу я думал написать, что это программа символьных вычислений для ленивых, решающих задачи по-тупому.
Так что ежели надо найти какие-то соотношения --- да поможет Вам Maple!
А ежели чего-то циркулем и линейкой построить --- да поможет Вам Батороев!

[anermak]

arseniiv ,

AKM в сообщении #222005 писал(а):

$$\begin{picture}(88,50)(44,25) \put(-29,0){\circle{40}}\put(-32,-4){A} \put(29,0){\circle{40}}\put(24,-4){C} \put(0,14){\circle{22}}\put(-3,10){B} \put(0,-14){\circle{22}}\put(-3,-18){D} \end{picture} $$

Из картинки очевидно, что это не так? Не найдётся, как ни ищите!

Развиваю мысль Батороева и возьму Ваш пример.
$E$-искомая. Фиксируем две произвольные окружности. Начинаем движение $B$ по $C$, касаясь $A$, которая в свою очередь касается еще $D$, при этом расстоянии между $A$ и $C$ будет уменьшаться непрерывно, пока не дойдет до нуля, далее .... в общем (см. рис.), думаю дальше пояснять не обязательно ..

Алексей К. в сообщении #222012 писал(а):

Таким образом, из каждого из 4-х первых уравнений определяем тангенс, и подставляем в пятое.

Даааа, чувствую весело будет !!!!!!
Спасибо Вам огромное !!!! Найти бы еще, какое-нибудь красивое геометрическое решение...

[Алексей К.]

anermak,
у нас разговор --- один про Фому, другой про Ерёму.

Я лишь утверждаю, что формулировка

anermak в сообщении #215010 писал(а):

Пять окружностей разных радиусов касаются друг друга , при чем четыре из них расположены вокруг пятой. Очевидно, что для любых четырех боковых окружностей (я про А,B,C,D) найдется только одна окр. О, для которой такое взаимное касание возможно.
Требуется: ...

вопиюще некорректна. Формулировка

Вариант 0 писал(а):

Пять окружностей разных радиусов касаются друг друга , причем четыре из них расположены вокруг пятой.
Требуется: ...

была бы чуть получше. Но всё равно --- она требует уточнений. Их, например, запросил BVR. В условиях фиксированной конфигурации можно только требовать исследования зависимостей. Циркулем и линейкой это не решается. Решается ручкой (можно и ЭВМкой).

Реально обсуждается одна из двух задач:

Вариант 1 писал(а):

Расположить на плоскости 4 окружности заданных радиусов так, чтобы они попарно касались, а в дырочку можно было бы вписать пятую окружность, касающуюся всех четверых.

Вариант 2 писал(а):

Расположить на плоскости 4 окружности заданных радиусов так, чтобы они попарно касались, а в дырочку можно было бы вписать пятую окружность заданного радиуса, касающуюся всех четверых.

Вариант 2, как уже показано, решений в общем случае не имеет. Но формулировка вполне ясная и корректная.

Я, похоже, взял на себя роль главного нашего специалиста по корректности задач, (сейчас временно не работающего).