Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.

[Батороев]

Доказательство приводится в виде тезисов, которые необходимо либо подтвердить, либо опровергнуть (можно также и подредактировать).

Тезис 1: При шаге $d$ целочисленной арифметической прогрессии, взаимнопростом с простым числом $p$, члены прогрессии, содержащие множитель $p$, расположены в прогрессии друг относительно друга на расстояниях, кратных $ p$.
Пусть $ a_i = pb $, где $b$ - целое число.
Тогда $a_{i\pm p}= pb\pm pd =p(b\pm d) $.
Остальные члены прогрессии взаимнопросты с $p$.

Подредактировано по замечаниям gris'a.

[gris]

При работе с Великими Теоремами нужна особая тщательность в формулировках. У Вас неясно, что такое $b$, что означают слова "расположены на расстояниях". Конечно, догадаться можно, но лучше начинать так, чтобы подобных вопросов не возникало даже у дилетантов теории чисел, к которым я себя с негодованием отношу.

[maxal]

Батороев в сообщении #214883 писал(а):

Тезис 1: При шаге $d$ целочисленной арифметической прогрессии, взаимнопростом с простым числом $p$, члены прогрессии, содержащие множитель $p$, расположены в прогрессии друг относительно друга на расстояниях, кратных $ p$.

Это верное наблюдение.

[Батороев]

Тезис 2: Количество натуральных нечетных чисел, имеющих одинаковый остаток от деления на простое число $p$, не превосходящих $N$, с погрешностью $+1$ равно целой части числа $ \dfrac {N}{2p} $.

Тезис подредактирован по замечаниям gris'a и maxal'a.

-- Пн май 18, 2009 21:56:44 --

Тезис 3: Введем новое определение:
Под остатком $(-k)\pmod p $ от деления отрицательного целого числа $(-a)$ на простое число $p$ следует понимать отрицательное число, равное по модулю остатку $k\pmod p $ от деления положительного числа $a$ на это же простое число.

Тезис заменен по замечаниям gris'a и maxal'a.

[gris]

Было бы неплохо определить однозначно, что является остатком в операции деления с остатком для целых чисел. А то возможны разночтения и некоторые нюансы.

В тезисе 2 говорится о натуральных числах или целых? Если целых, то не следует ли читать "не превосходящих $N$ по модулю"?

[maxal]

Батороев
Тезис 2 верен, если говорить о натуральных числах.

Тезис 3 неоднозначен - например, термины "абсолютная величина остатка" и "знак остатка" без дополнительных оговорок бессмысленны, так как остаток по определению всегда неотрицательное число.

[Батороев]

Прежде, чем продолжить (так сказать, "на берегу") хочу высказать публично одно пожелание:
Уважаемый maxal! В случае, если доказательство покажется Вам убедительным, учитывая Вашу неоценимую помощь мне в предшествующие годы, сочту за Честь, если Вы согласитесь продолжить работу над ним на правах соавтора.

Для дальнейшего доказательства рассмотрим числовую ось - это прямая линия с нанесенными на ней метками. Каждому целому числу на оси соответствует своя метка.

Случай 1: Четное число $N$ не кратно 3.
На числовой оси от нечетных чисел, кратных 3 и расположенных на промежутке $III (N, 2N)$, проводим синусоиды с полупериодом, равным $N$, через участки $ II (0,N) $ и $ I(-N, 0)$ (синусоиды - суть арифметической прогрессии с шагом $N$).
Количество указанных чисел (соответственно, синусоид) с погрешностью $+1$ равно $ \dfrac {N}{6} $.
Пересечение синусоид с числовой осью произойдет через метки, соответствующие нечетным числам.
Если $ N\equiv 1 \pmod 3 $, то на участке $II$ синусоиды пересекут метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 2\pmod 3 $, а на участке $I$ метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 1\pmod 3 $.
Если $ N\equiv 2 \pmod 3 $, то на участке $II$ синусоиды пересекут метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 1\pmod 3 $, а на участке $I$ метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 2\pmod 3 $.

Для простого числа 3 выполняется:
$ 1\pmod 3\equiv (-2)\pmod 3 $
$ 2\pmod 3\equiv (-1)\pmod 3 $
Следовательно, каждая из синусоиды пересечет метки нечетных чисел, симметричных относительно 0 и имеющих одинаковый по абсолютной величине остаток по основанию 3.
Таким образом, создать пару, принадлежащую одной синусоиде на интервале $I$ и $II$ могут только числа, непревышающие по абсолютной величине число $N$ и имеющие одинаковые по абсолютной величине остатки по основанию 3.
Таких нечетных чисел $\dfrac {N}{6} $.

Чтобы хотя бы одно число в каждой из пар было составным, необходимо иметь количество таких чисел, равное количеству синусоид, т.е. $\dfrac {N}{6} $. Но уже при $ N>40 $ имеется более пяти штук простых чисел, имеющих одинаковый остаток по основанию 3 (одно из которых может пойти в пару с непростым и несоставным числом 1, еще одна пара может понадобиться для компенсации погрешности +1). Соответственно, количества составных чисел для всех пар не хватает.
Таким образом, при любом $N\equiv 0\pmod 3 $ имеется, как минимум, одна пара простых чисел $ p $ и $ q $ таких, что:
$ p-N = -q $
или
$ p+q=N$.

[gris]

Если вводить отрицательный остаток для отрицательных чисел, то получается, что нельзя сравнивать по модулю положительные и отрицательные числа. Кроме того, целые числа имеющее, скажем, остаток $\pm 1$ при делении на 3 с остатком, а именно:

$...-7; -4; -1; 1; 4; 7...$ не будут образовывать арифметическую прогрессию.

А при традиционном определении неотрицательного остатка - будут.

$...-8; -5; -2; 1; 4; 7...$ - целые числа имеющее остаток 1 при делении на 3 с остатком/

Может быть это и ни к чему, но у Вас в первом сообщении темы шла речь об арифметических прогрессиях.

-- Вт май 19, 2009 14:27:13 --

Батороев в сообщении #215200 писал(а):

Если $ N\equiv 1 \pmod 3 $, то на участке $II$ синусоиды пересекут метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 2\pmod 3 $, а на участке $I$ метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 1\pmod 3 $.
Если $ N\equiv 2 \pmod 3 $, то на участке $II$ синусоиды пересекут метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 1\pmod 3 $, а на участке $I$ метки нечетных чисел, имеющих остаток $ 2\pmod 3 $.

А вот тут у Вас появляется положительный остаток у отрицательного числа. Откуда он взялся? То есть, для целых чисел вводятся и положительные и отрицательные остатки?

[Батороев]

Отрицательные остатки, насколько мне известно, используют довольно широко.
То, что в математике не оперируют остатками от отрицательных чисел, я не виноват.


Чтобы понять то, что я по своей косноязычности мог не внятно описать, попробуйте самостоятельно подсчитать по предлагаемому алгоритму для небольшого четного$N$.

[gris]

я просто хотел уточнить, ещё когда говорил о неоднозначности.
У Вас есть операция сравнения по модулю. Как она определяется для отрицательных и положительных чисел? Вот это я имел в виду. А то не ясно, что это значит. Если бы было чётко определено, то было бы ясно. Возможно, что у меня эти вопросы возникают просто от незнания теории. Почему у отрицательных чисел не может быть положительного остатка?

Правильно ли я понимаю: при делении с остатком на 3

3 имеет остаток 0.
4 имеет остатки 1 и -2
5 имеет остатки 2 и -1
-3 имеет остаток 0
-4 имеет остаток -1. и ещё 2?
-5 имеет остаток -2 и ещё 1?

с чем сравнимо 4 по модулю 3? С -4 или с -5?

Вроде бы разобрался. Почему бы тогда сразу не путаться с остатками, а ввести операцию сравнения по модулю для целых чисел? Сравнимы, если абсолютная величина разности кратна делителю. Или остатки будут позже использоваться?

[Батороев]

gris в сообщении #215239 писал(а):

с чем сравнимо 4 по модулю 3? С -4 или с -5?

По моей "теории" сравнимо с -5.

[gris]

Вы пишете "Следовательно, каждая из синусоиды пересечет метки нечетных чисел, симметричных относительно 0 и имеющих одинаковый по абсолютной величине остаток по основанию 3."
Получается, что синусоида чётная? Или это две разные синусоиды?

-- Вт май 19, 2009 15:22:09 --

Пройдёт ли синусоида через 4 и -4? Ведь у них остатки совпадают по модулю?

[Батороев]

Я в посте указал, что $N$ - четное ("Случай 1: Четное число $N$ не кратно 3"). Соответственно, синусоида с полупериодом $N$ - четная.
Следовательно, если одно из пересечений (член арифметической прогрессии) - нечетно, то и все другие пересечения пройдут по нечетным числам.

У чисел 4 и -4 остатки по модулю 3 не совпадают.
По-моему, Вы немного путаете два понятия: по " модулю" (по абсолютной величине) и "остатки по модулю" (по основанию).

[gris]

Я не путаю. Есть определение "сравнимы по модулю", но нет "остаток по модулю". Поэтому "остатки равны по модулю" означает равенство по абсолютной величине.
Конечно, я имел в виду абсолютную величину остатков от деления на 3 чисел 4 и -4.
Остаток от деления числа 4 на 3 равен 1.
Остаток от деления числа -4 на 3 равен -1.
Они совпадают по абсолютной величине, и Вы написали, что синусоида пройдет через эти точки.
Так ли это?
Если взять нечётные числа, то синусоида с периодом $2\cdot 3=6$, проходящяя через 5 (остаток 2) должна пройти и через -5, так как у -5 остаток -2. По абсолютной величине 2 и -2 совпадают. И "Следовательно, каждая из синусоиды пересечет метки нечетных чисел, симметричных относительно 0 и имеющих одинаковый по абсолютной величине остаток по основанию 3."
Правильно ли я понимаю. Нельзя ли ввести обозначение $R_{3+}(5)$ и $R_{3-}(5)$ для положительного и отрицательного остатков от деления на 3?

[maxal]

Батороев в сообщении #215200 писал(а):

Уважаемый maxal! В случае, если доказательство покажется Вам убедительным, учитывая Вашу неоценимую помощь мне в предшествующие годы, сочту за Честь, если Вы согласитесь продолжить работу над ним на правах соавтора.

Нет, спасибо. Я не думаю, что я способен доказать гипотезу Гольбаха, и всякая такая попытка для меня будет пустой тратой времени.
Пусть уж лучше лавры (а скорее шишки) достанутся вам.

Кстати, лучше не привлекать анализ (синусоиды и пр.) там, где нет в нем нужды. Переформулируете свое доказательство в терминах арифметических прогрессий - все эти синусоиды только сбивают с толку.