Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.

[Droog_Andrey]

Вот в этой-то равномерности и фишка.

Статья об отклонениях от равномерности: http://www.expmath.org/restricted/3/3.3/rubinstein.ps

[Батороев]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА (в тезисах).

Рассмотрим число $n=2^k \cdot P$, близкое к примориалу $(p_{i})\#$,
где $P; 3, 5... p_i $ - нечетные простые числа, $k$ - натуральное число.

Действуя по алгоритму решета, описанному выше, до простого числа $p_{i-1}$, получим число невычеркнутых чисел:

$$A=(3-2)(5-2)... (p_{i-1}-2)\cdot p_i $$

(1)

Всего количество чисел, кратных простому $p_i$ и взаимно простых со всеми меньшими простыми $2,3,5...p_{i-1}$ в пределах до $n$, будет равно количеству чисел, взаимно простых примориалу $(p_{i-1})\#$, не превосходящих этот же примориал. Это количество равно:

$$ B= (3-1)(5-1)\cdot...\cdot (p_{i-1}-1})$$

(2)

Число $2B$ показывает количество чисел, которые могли быть вычеркнуты на $i$-том шаге, если бы ни одно из этих чисел (числа, кратные $p_i$ и взаимно простые с простыми $p_1...p_{i-1}$, а также их "парные" числа, т.е. дающих в сумме с первыми четное число $n$) не были вычеркнуты на предыдущих шагах.

Очевидно, что $2B < \dfrac{A}{2}$ (3) для всех простых, превышающих $13$.

Расчетными методами справедливость гипотезы Гольдбаха доказана до чисел порядка $2\cdot 10^{15}$, что намного превышает $ (13)\#$.

Это говорит о том, что количество чисел, вычеркиваемых на каждом шаге, строго меньше половины чисел, не вычеркнутых на предыдущих шагах.

Если из любого четного числа $n$ на каждом шаге вычеркивать четное количество чисел, строго меньшее половины невычеркнутых на предыдущих шагах, то невычеркнутыми всегда останется не менее 4 чисел.
Учитывая то, что имеется вероятность того, что среди невычеркнутых чисел может остаться единица, не являющаяся простым числом, то можно строго говорить о двух простых, в сумме дающих четное число $n$.

Эти рассуждения справедливы для любых четных чисел с той лишь разницей, что:
1. Если число не близко к примориалу, то правую часть выражений (1) и (2) необходимо умножить на коэффициент $C=\dfrac {n}{(p_{i})\#}$.
2. Если число $n$ отличается от числа вида $2^k\cdot P$, то для простых делителей этого числа вместо $p-2$ в выражении (1) должно быть записано $p-1$, что ведет лишь к усилению неравенства (3).

[Батороев]

Выражение (2) можно записать:

$$ B=\varphi ((p_{i-1})\#)=\varphi (2) \cdot \varphi (3)\cdot \varphi (5)\cdot ...\cdot \varphi (p_{i-1})$$

(2)
где $\varphi $ - функция Эйлера.

[Prorab]

Временно перемещено в карантин по просьбе автора для внесения исправлений

Возвращено

[Батороев]

Нашел более легкое с точки зрения восприятия и, пожалуй, более строгое доказательство гипотезы Гольдбаха.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА (улучшенный вариант, в тезисах).

Для большей наглядности произведем обработку решетом, предложенным выше, числа вида $n=2P$, а именно $n =202$.

1. На первом шаге решета вычеркиваем четные числа $B_1=\dfrac {n}{2}= 101$. Остается нечетное количество ($B_1=101$) нечетных чисел ($1, 3, 5, ...., 201$).

2. На втором шаге вычеркиваем нечетные числа, кратные $3$, а также числа, имеющие по основанию простого $3$ такой же остаток, что и само число $n$ ($ 202\equiv 1\pmod 3$).
Количество нечетных чисел, кратных $3$ в пределах до $n$ равно количеству нечетных чисел (взаимно простых с простым $2$) в диапазоне от $1$ до $\dfrac {n}{3}=\dfrac {202}{3}=67,3333 $. Таких чисел с точностью $\pm 1$ равно $B_2=\dfrac {A_1}{3}=34$ ($1,3,5,7...67$), а всего на втором шаге мы вычеркнем $2B_2= 68$ чисел.

Таким образом, после второго шага остается $A_2=A_1-2B_2= 101-2\cdot 34 = 33$ невычеркнутых числа.
Все невычеркнутые числа имеют по основанию $3$ один остаток ($5, 11, 17, 23...\equiv 2\pmod 3$).

3. На третьем шаге из невычеркнутых на втором шаге чисел вычеркиваем числа, кратные следующему простому числу $5$, а также числа, имеющие по основанию $5$ остаток, что и $n$ ($202\equiv 2\pmod 5$).

Количество чисел среди невычеркнутых, кратных $5$, будет численно* равно количеству невычеркнутых чисел в диапазоне от $1$ до $\dfrac {n}{5} = \dfrac {202}{5} = 40,4$).

* Т.к. невычеркнутые числа имеют остаток $2\pmod 3$, а число $5\equiv 2\pmod 3$, то у чисел, кратных $5$, имеющих остаток $2\pmod 3$, помимо множителя $5$ должны быть множители из диапазона от $1$ до $\dfrac {n}{5}$, имеющие остаток $1\pmod 3$
($1, 7, 13, 19, 25, 31, 37$). Их количество с точностью $\pm 1$ равно количеству ранее невычеркнутых чисел из этого же диапазона. Этих чисел с той же точностью $\pm 1$ не может быть больше, чем $B_3\leq \dfrac {A_2}{5}= \dfrac {33}{5}=7$, а всего количество вычеркнутых на 3-м шаге чисел не может превышать $2B_3\leq \dfrac {2A_2}{5}$ (1).

Неравенство (1) можно заменить строгим неравенством $2B_3<\dfrac {A_2}{2}$ (2)
($2\cdot 7 < \dfrac {33}{2}$)
Если продолжить рассмотрение шагов решета, то аналогичная картина, т.е. соблюдение неравенства, будет сохраняться и на следующих шагах (на самом деле неравенство будет еще более усиливаться).
Следовательно, для последующих шагов можно записать:

$$ 2B_i<\dfrac {A_{i-1}}{2}$$

(3)

Другими словами, начиная с простого $5$, количество вычеркиваемых на каждом из последующих шагов чисел всегда будет строго меньше половины количества чисел, невычеркнутых на предыдущих шагах.

Очевидно, что:

- Если из нечетного числа (количество невычеркнутых чисел после первого шага при $n=2m$, где $m$ -нечетное натуральное число) на каждом из шагов вычеркивать четное количество чисел, строго меньшее половины чисел, не вычеркнутых на предыдущих шагах, то в конце концов должно остаться не менее $3$-х чисел. В случае, если действительно осталось три числа ( в общем то невероятный случай) и одно из них не простое и не составное число $1$ (дающее в сумме с другим невычеркнутым числом $n-1$ число $n$), то в этом случае число должно быть вида $n=2P$ (где $P$ - простое число).

- Если из четного числа (количество невычеркнутых чисел после первого шага при $n=2^k m$, где $m$ - нечетное натуральное число, $k$ -натуральное число, большее 1) на каждом из шагов вычеркивать четное количество чисел, строго меньшее половины чисел, не вычеркнутых на предыдущих шагах, то в конце концов должно остаться не менее $4$-х чисел. В случае, если одно из оставшихся чисел $1$, то можно строго говорить об одной паре простых чисел, дающих в сумме четное число $n$.

[Skipper]

А по-моему, доказательство гипотезы Гольдбаха просто следует из теории вероятностей.
Гипотеза Гольдбаха гласит, что любое четное >2 число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например,
$4 = 2 + 2$,
$6 = 3 + 3$,
$8 = 3 + 5$,
$10 = 3 + 7 = 5 + 5$.
$22 = 19 + 3 = 17 + 5 = 11 + 11$.
...

Мои подходы к доказательству гипотезы Гольдбаха. (возможно не обладает полнотой, но если станут понятны идеи, то его можно довести до полного).

Стоит заметить, что чем больше число, тем больше вариантов представления его в виде суммы двух простых. Из примера выше видно, что 4,6,8 представимы одним способом, 10 представимо уже 2-мя способами, в районе 100-1000 способов уже вообще много и т.д. Думаю, что увеличение способов (не строгое, а в среднем), при увеличении числа, можно и доказать, хотя это даже и очевидно. Количество простых, меньших чем данное число увеличивается в соответствии с доказанным законом распределения простых, значит увеличивается и количество возможных сумм, отсюда увеличение количества способов разложения. Это не строго утверждение. Для конкретно выбранных четных чисел A, и (A+2), может получиться так, что для (A+2) МЕНЬШЕ способов разложения.

Но вероятность увеличения количества способов разложения при переходе от произвольных A, до (A+2) ВЫШЕ, чем вероятность уменьшения этого количества способов. Это явно не 0,5 на 0,5. Конкретно эти вероятности называть не буду, для этого нужно сильно углубляться в математический анализ, но очевидно. что вероятность увеличения выше. Скажем, могут быть 0,6 на 0,4, или какие то другие значения.

Рассмотрим "случайное блуждание" движущейся точки на прямой. Т.е. точка выходит из 0-ля, и с вероятностью 0,5 перемещается на 1 вправо, и с вероятностью 0,5 перемещается на 1 влево. Если допустим, переместилась влево, и находится в -1, далее - снова - с вероятностью 0,5 перемещается вправо - и возвращается в 0, а с вероятностью 0,5 перемещается влево и приходит в -2.

Существует теорема, которая гласит "случайное блуждание возвратно в пространстве одного и двух измерений". Прямая - это пространство 1 измерения. Значит, если мы будем сколь угодно долго наблюдать за этой точкой, то дождемся момента, когда она придет в любое интересующее нас место. Она возвратиться в 0, она придет в 1000, в -1000000 и т.д. Нужно просто долго ждать. Но мы этого дождемся.

(для большего понимания тех, кто не сталкивался с этим в теории вероятностей... По этой же причине, человек имеющий количество денег, стремящееся к бесконечности, всегда может выиграть в казино, в котором вероятность выиграть равна вероятности проиграть. Например, ставит он 100 долларов на красное поле. Если черное - он проиграл, если красное - забирает выигрыш 100, и имеем уже 200 долларов. И т.д. Выигрыши-проигрыши можно рассматривать как смещение точки вправо-влево по прямой с одинаковыми вероятностями. Т.к. точка рано или поздно уйдет в любую, интересующую его область, можно быть уверенным, что можно гарантированно ВЫИГРАТЬ. единственное что нужно - остановиться в нужный момент).

Далее, в математике доказано следующее утверждение - если вероятности смещения не равны в точности 0,5, а скажем, в правую сторону выше, ну хотя бы 0,51, а в левую 0,49, то для любой фиксированной области на числовой прямой (например, и для 0, и для 1000, и для 1000000), движущаяся точка побывает в ней или конечное количество раз, или вообще не побывает. После этого конечного количества раз (появления там), движущаяся точка НАВСЕГДА уйдет в одну из сторон. В нашем случае - в правую сторону.

Если эта движущаяся точка отображает количество возможных разложений четного числа на простые слагаемые, (при пробегании по четным от 4, до бесконечности), то по той же причине, очевидно, что в 0 она никогда не вернется после определенного момента.

Тем самым, с помощью положений теории вероятностей, я доказал, что гипотеза Гольдбаха или верна, или если даже и неверна, то только КОНЕЧНОЕ количество четных чисел нельзя представить в виде двух простых слагаемых.

На данный момент уже проверены миллиарды и миллиарды четных чисел - все они удовлетворяют гипотезе Гольдбаха, причем количество подобных разложений на слагаемые, в тех областях, очень велико (наша движущаяся точка "ушла" очень далеко вправо и просто невероятно что она может вдруг по какой то причине уйти в 0). Конечно, нужно еще доказать строго, что для чисел, больших определенного, разложение всегда будет существовать, но уже при текущем положении дел, поверить в то, что найдется какое то четное число, которое нельзя будет представить в виде слагаемых из двух простых я уже не могу.

Редкий случай, когда строго пока не доказано, но ОЧЕВИДНО!