Устойчивость разностной схемы (краевое условие 3 порядка)

[shto-delat]

Я надеюсь, что здесь кто-то знаком с такой проблемой.

Есть краевая задача, состоящая из одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами, начального условия и 2 граничных условий третьего рода. Задача решается численными методами через схему Кранка-Никелсона (симметричную или повышенной точности).

1) Необходимо исследовать на устойчивость краевую задачу по шагам $h и \tau (по координате и по времени). Я знаю, что хотя симметричная схема или схема повышенного порядка аппроксимации в теории является абсолютно устойчивой по $h и \tau, на устойчивость задачи также влияют краевые условия, и, вроде бы, для краевых условий третьего рода необходим гораздо более тонкий анализ. Знаю, что вроде бы есть методы энергетических неравенств и принцип максимума, но о них услышал буквально несколько дней назад, поэтому разобраться пока не смог. Пожалуйста, скажите, что нужно использовать (желательно со ссылками), чтобы получить критерий для выбора $\tau(h), чтобы схема была устойчивой?

2) Было замечено, что при определенном соотношении между $h и \tau (\tau << $h) лучше всего к теоретическому решению (при определенных допущениях) приближается кривая, соответствующая неявной схеме. Как симметричная, так и схема с повышенной точности дают гораздо более плохой результат. Возможно ли такое или это чистое совпадение каких-то потусторонних факторов?

[ewert]

shto-delat писал(а):

, на устойчивость задачи также влияют краевые условия, и, вроде бы, для краевых условий третьего рода необходим гораздо более тонкий анализ.

Строго говоря, я с этим вопросом не знаком. Однако условия устойчивости ($\tau<h^2/(2\alpha)$) для краевых условий Дирихле определяются только верхней оценкой спектра разностного оператора. А она будет примерно одной и той же для любых вообще граничных условий -- если, конечно, коэффициенты в граничных условиях фиксированы и не слишком велики. Соответственно, и условие устойчивости практически не изменится.

Правда, это всё при условии, что сами условия 3-го типа выбраны разумно -- так, что дифоператор отрицателен. Но если это не так, то сама исходная дифференциальная задача уже неустойчива. Кроме того, это не очень-то и физически осмысленно.

[shto-delat]

ewert писал(а):

Строго говоря, я с этим вопросом не знаком. Однако условия устойчивости ($\tau<h^2/(2\alpha)$) для краевых условий Дирихле определяются только верхней оценкой спектра разностного оператора.

Я прошу меня извинить, т.к. не очень хорошо знаком с операторным подходом к разностным схемам. Как мне получить эту оценку? О каком операторе идет речь - о том, который в краевом условии или о том, который в уравнении теплопроводности?

ewert писал(а):

Правда, это всё при условии, что сами условия 3-го типа выбраны разумно -- так, что дифоператор отрицателен. Но если это не так, то сама исходная дифференциальная задача уже неустойчива. Кроме того, это не очень-то и физически осмысленно.

Чтобы не быть голословным, вот моя краевая задача



Коэффициенты Bi положительны и лежат на отрезке [0,1]. Как вы считаете, разумно ли выбраны краевые условия?

Добавлю: в правой части краевого условия на границе $y = 0 содержится функция-ступенька (прямоугольный импульс).

[worm2]

Учитесь, как это здесь принято записывать (http://dxdy.ru/topic183.html):

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial\theta}{\partial F_0} = \frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq F_0 \leq 1\\ \left.\frac{\partial\theta}{\partial y}\right|_{y=0}=\mathrm{Bi_1}\cdot\theta-\frac{1}{F_{\mbox {имп}}}\vartheta(F-F_{\mbox{имп}}),\\ \left.\frac{\partial\theta}{\partial (-y)}\right|_{y=1}=\mathrm{Bi_2}\cdot\theta\\ \theta(0,y) = 0. \end{array} \right. $$

[ewert]

И измените обозначения. Нехорошо функцию обзывать тетой, иксы -- игреками, совсем нехорошо время обозначать как Эф, да ещё и с ноликом, а уж что делается в правой части первого граничного условия -- и вообще не разберёшь.

[shto-delat]

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq t \leq 1\\ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=\mathrm{Bi_1}\cdot u -\frac{1}{t_{\mbox {имп}}} \theta(t-t_{\mbox{имп}}),\\ \left.\frac{\partial u}{\partial (-x)}\right|_{x=1}=\mathrm{Bi_2}\cdot u\\ u(0,x) = 0. \end{array} \right. $$

Здесь

$$\frac{1}{t_{\mbox {имп}}} \theta(t-t_{\mbox{имп}})$$

- нормированная по площади функция Хэвисайда (задает начальный нагрев импульсом).

Может быть, лучше перенести эту функцию в правую часть уравнения ? Т.к. именно она, насколько я понял, вносит неустойчивость в решение.