Период произведения периодических функций

[Alexey1]

При каких условиях можно определить период произведения периодических функций?

[Brukvalub]

Например, при соизмеримости периодов.

[Trotil]

В сети видел школьную статью про периоды, где ставился вопрос о периоде суммы и произведении периодических функций.

Статья школьная, но при этом автор (школьный учитель) довольно серьезно исследовал этот вопрос, так что интересные свойства и примеры на тему мне больше нигде не попадались, а жаль.Кроме того, там опровергались контрпримерами некоторые ошибочные утверждения, которые встречаются в школьных учебниках. Пример такого утверждения: "Если функция $f(x)$ имеет период $T_1$, а функция $g(x)$ имеет период $T_2$, то их сумма $f(x)+g(x)$ имеет период $T=[T_1,T_2]$"

(период наименьший, естес-но)

Пробовал сейчас погуглить - не получилось. Может вам повезет больше.

[gris]

Если под периодом понимать наименьший(основной, главный) период, то контрпримеры приводятся легко.
Например,

$$\sin x + (-\sin x)$$

не имеет наименьшего периода.
НОК периодов (если они соизмеримы) тоже будет периодом, но не обязательно наименьшим. Можно привести примеры с функциями, не являющимися константами, где наименьший период будет меньше НОК. А что в этом такого удивительного?
Если бы Вы нашли пример двух функций, у которых НОК не будет периодом вообще...

Это похоже на ситуацию с обыкновенными дробями. Наименьший общий знаменатель нескольких (несократимых) дробей равен НОК их знаменателей. Но после сложения дробей он вполне может сократиться:

$$\frac12+\frac13+\frac16=\frac11$$

[Alexey1]

Всем спасибо за ответы. Однако, известно как находимть период если сумма периодических функций. В случае произведения, что всё аналогично?

[gris]

Посмотрите на графики функций

$$\sin 2\pi mx\cdot\sin 2\pi nx$$

(сомножители c периодами $\frac1n$ и $\frac 1m$) при разных $n,m$
(произведение легко в сумму разложить). Просто попытайтесь найти какую-нибудь закономерность.

[Trotil]

О периодических функциях. Занимательно и поучительно.

Правда, по основному вопросу - о периоде произведения там не сказано.

[terminator-II]

Brukvalub писал(а):

Например, при соизмеримости периодов.

это утверждение можно до некоторой степени обратить.

рассмотрим функцию $h(x,y)$ непрерывную на всей плоскости и она $p>0$-периодична по $x$ и $q>0$-периодична по $y$.
Предположим, что при некотором фиксированном $x$ эта функция $q$-периодична по $y$ и при ннекотором фиксированном $y$ она $p$-периодична по $x$. Берутся минимальные периоды.
Тогда если числа $p$ и $q$ рационально несоизмеримы то функция $v(x)=h(x,x)$ не имеет периодов отличных от нуля.
с соответствующими выводами относительно сумм и произведений: $h(x,y)=f(x)+g(y),\, f(x)g(y)$ и тп