Пучки прямых и ГМТ

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

отсюда
$x_a=-y_0/k+kx_0$

???

Ошибся, но подправил ( см. пост выше - правильно?)

$(x_a;0)$ - точка пересечения искомой прямой с осью $OX$

[Алексей К.]

Вроде да.

[e7e5]

$D^2=y_{0}^2/k^2+x_{0}^2 -2x_0 y_0/ k+ x_{0}^2 k^2 -2x_0 y_o k +y_{0}^2}$

первая производная
$-2y_{0}^2/k^3+2x_0 y_0/ k^2+ 2x_{0}^2 k -2x_0 y_0$

приравниваем к нулю

$-2y_{0}^2/k^3+2x_0 y_0/ k^2+ 2x_{0}^2 k -2x_0 y_0=0$,
$-y_{0}^2+x_0 y_0 k+ x_{0}^2 k^4 -x_0 y_0 k^3=0$,

Если ввести обозначение $k_0=y_0/x_0$, то получается


$k^4-k_0 k^3+ k_0 k -k_{0}^2=0$ Проверьте пожалуйста, правильно?

И как же такое ур-е решить?

[Алексей К.]

$$\begin{array}{rcll} k^4-k_0 k^3&+& k_0 k -k_0^2&=\\ k^3(k-k_0)&+& k_0( k -k_0)&=\ldots\,?\ldots=0 \end{array} $$

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

В справочниках описаны и универсальные методы, типа метода Феррари..

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$$\begin{array}{rcll} k^4-k_0 k^3&+& k_0 k -k_0^2&=\\ k^3(k-k_0)&+& k_0( k -k_0)&=\ldots?\ldots=0 \end{array} $$

Ах, да, просто повезло, что так раскладывается, т.е.
$k=k_0$ и другое решение $k=-k_{0}^{1/3}$ и что дальше?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

и другое решение $k=k_{0}^{1/3}$ (неверно --- АК) и что дальше?

Вы удивительно невнимательны. Вроде не курсовой делаете?
А что Вы дальше хотите? Что бы оно ни было, наверное то самое экстремальное значение функции $D$ интересно...

[e7e5]

$D^2=y_{0}^2/k^2+x_{0}^2 -2x_0 y_0/ k+ x_{0}^2 k^2 -2x_0 y_0 k +y_{0}^2}$

подставляем $k=-k_{0}^{1/3}=-(y_0/x_0)^{1/3}$, чтобы найти экстремальное значение функции
$D_{min}(x_0;y_0)$ :

$D_{min}^{2}=y_{0}^2/k_0^{2/3}+x_{0}^2 +2x_0 y_0/ k_{0}^{1/3}+ x_{0}^2 k_0^{2/3} +2x_0 y_0 k_0^{1/3} +y_{0}^2}$

[Алексей К.]

$k=-k_0^{1/3}$.
Вы же видите из рисунка, что $k$ и $k_0$ не могут быть одного знака...

Добавлено спустя 1 час 7 минут 42 секунды:

Я раньше предлагал упрятать две переменные ($x_0,y_0$) в одну $k_0$, что оказалось уместно. В последнем Вашем выражении уже три переменные ($x_0,y_0,k_0$), хотя по сути те же две.
Короче, подставляйте обратно $k_0$ и сравнивайте с уже известным ответом (ранее здесь опубликованным и подтверждённым).

Это всё, конечно, если я правильно протелепатил незаданный Вами вопрос...

[e7e5]

Т.к. $k_0=y_0/x_0$, то подставляя в

$D_{min}^{2}=y_{0}^2/k_0^{2/3}+x_{0}^2 +2x_0 y_0/ k_{0}^{1/3}+ x_{0}^2 k_0^{2/3} +2x_0 y_0 k_0^{1/3} +y_{0}^2}$

получаем для произвольной точки $M(x_0;y_0)$ в первой четверти:

$D_{min}^{2}=x_0^{2} + y_0^{2} + 3x_0^{2/3} y_0^{2/3}(x_0^{2/3} + y_0^{2/3})$

Добавлено спустя 1 час 30 минут 53 секунды:

После преобразований действительно у меня получилось свести к выражению , полученному bot

$x_0^{2/3}(x_0^{2/3} +y_0^{2/3})^2 + y_0^{2/3}(x_0^{2/3}+y_0^{2/3})^2$
или

bot писал(а):

Отсюда $a=x_0^{\frac{1}{3}}t,\ b=y_0^{\frac{1}{3}}t, \ t=x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}$.

Вот только именно

Алексей К. писал(а):

У меня случилось $D^2=\left(x_0^{2/3}+y_0^{2/3}\right)^3$.


Пахнет астроидой. Не как решением исходной задачи, а как ГМТ $D(x,y)=\mathrm{const}$.]

у меня не получается

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

После преобразований действительно у меня получилось свести к выражению , полученному bot

$x_0^{2/3}(x_0^{2/3} +y_0^{2/3})^2 + y_0^{2/3}(x_0^{2/3}+y_0^{2/3})^2$
Ну посмотрите глазками, с ласкою, на это выражение, сбоку, сзади, ещё как-нибудь ---
Вот только именно

Алексей К. писал(а):

У меня случилось $D^2=\left(x_0^{2/3}+y_0^{2/3}\right)^3$.

у меня не получается
И, глядишь, получится....

Если получится, надо непременно сделать какие-то выводы из произошедшего...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$x_0^{2/3}(x_0^{2/3} +y_0^{2/3})^2 + y_0^{2/3}(x_0^{2/3}+y_0^{2/3})^2$
Ну посмотрите глазками, с ласкою, на это выражение, сбоку, сзади, ещё как-нибудь ---
И, глядишь, получится....[/color]

Вы правы, выражение легко сворачивается по ф. сокращенного умножения $(x+y)^3$, получается. ( )

$D_{min}^2=\left(x_0^{2/3}+y_0^{2/3}\right)^3$.

И какой теперь математический вывод из этого выражения ( очень компактное )?

Добавлено спустя 6 минут 54 секунды:

$D_{min}^{2/3}=x_0^{2/3}+y_0^{2/3}$

Добавлено спустя 52 минуты 43 секунды:

Если задать некоторые значения $D_{min_{i}}^{2}$, для каждого можно построить свою астроиду ( "концентрические")

На бумажке в клеточку не "шустро" все строится, а главное не очень понятно, куда смещаться из т. $M(x_0;y_0)$ для построения искомой кривой $L$?

[Алексей К.]

У Вас уже нет никакой заданной точки. Есть неявное уравнение кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=const$. И никуда не надо смещаться. Перебирать всезможные иксы, вычислять для них игреки. Или наоборот. Так же, как Вы бы строили кривую $x^2+y^2=const$.

Вспомните образ падающей (путём скольжения) лестницы, ранее выписанный ИСН. Все положения лестницы --- некое семейство прямых. Астроида --- огибающая этого семейства.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Есть неявное уравнение кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=const$. И никуда не надо смещаться. Перебирать всезможные иксы, вычислять для них игреки. Или наоборот. Так же, как Вы бы строили кривую $x^2+y^2=const$.

В для этих неявных уравнений константу ведь можно пердстваить как квадрат другой константы, тогда получатся уравнения астроиды и окружности.
Дальше, выписываются параметрические уравнения типа
$x=Const*cos^3 t$; $y=Const sin^3 t$
и
$x=Const cost$; $y=Const sint$
Далее меняю $t$ и по точкам строю для фиксированной $Const$ - астроиду, окружность.
Можно так строить?

А вот откуда огибающие, зачем они в данном случае нужны?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

В для этих неявных уравнений константу ведь можно пердстваить как квадрат другой константы, тогда получатся уравнения астроиды и окружности.

Они и так были уравнениями астроиды и окружности, независимо от того, в каком виде представлена константа.

e7e5 писал(а):

Дальше, выписываются параметрические уравнения типа
$x=Const*cos^3 t$; $y=Const sin^3 t$
и
$x=Const cost$; $y=Const sint$
Далее меняю $t$ и по точкам строю для фиксированной $Const$ - астроиду, окружность.
Можно так строить?

Так писать не принято --- слово const надо буковкой заменить. В моей записи, без участия в арифметических выражениях, это было уместно, в Вашей --- уже нет. Надо брать что-то более подходящее, например $R$ для окружности. Какой-то характерный размер есть и у астроиды.

e7e5 писал(а):

А вот откуда огибающие, зачем они в данном случае нужны?

Ну просто каждый человек с воображением, увидев падающую лестницу, задумается об огибающей. Если, конечно, он смотрит со стороны, а не на лестнице стоит. Как Вы в своё время, глядя в потолок, о чём-то там задумались (и до сих пор не прошло). Нарисуйте десяток прямых упомянутого семейства --- и у Вас возникнет мысль об огибающей. А если не возникнет --- нарисуйте 50 прямых.

Добавлено эдак через часок...

Кстати, циркуль, который Вы купили к предыдущей теме, здесь будет незаменим.

[e7e5]

Бумажка в клеточку и циркуль обычный. получился такой вот рисунок. Это и есть огибающая? Напоминает астроиду.
Раствор циркуля взял равным десяти клеточкам.

Вот только все равно не пойму, как такие построения исходную задачу помогут решить графически?