ВТФ при n=3

[ljubarcev]

Доказать, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений
в натуральных числах.
Предположим, что существует минимальная тройка целых положительных чисел $x, y, z$ ни одно из которых не равно 0, удовлетворяющих равенству $x^3+y^3=z^3$ (1).
Известно, что любое число можно представить путем деления на $3$ в виде $N=3u+v$, где $u$ и $v$ целые числа, $v$ – целый остаток от деления $N$ на $3$, естественно меньший $3$.
В нашем случае числа $x, y, z$ представим как: $x=3p+a$,
$y=3g+b$, $z=3k+c$ , где $a$, $b$, $c$ целые остатки при делении чисел $x$, $y$, $z$ на $3$ соответственно.
Подставим в исходное равенство (1) значения $x$, $y$, $z$ в приведенном виде и получим:

$$(3p+a)^3+(3g+b)^3=(3k+c)^3$$

. Возведем каждое из слагаемых в куб по формуле Ньютона и получим;

$$27p^3+27ap^2+9pa^2+a^3+27g^3+27bg^2+9gb^2+b^3=27k^3+27ck^2+ 9kc^2+c^3$$

.
Простыми переносами и вынесением в правой части общего множителя $9$ за скобки приводим последнее равенство к ниже следующему виду и видим, что ДОЛЖНО быть;

$$a^3+b^3-c^3=9(3k^3+3ck^2 - 3p^3 - 3ap^2 - 3g^3 - 3bg^2+kc^2-pa^2-gb^2)$$

(2)
Правая часть этого равенства делится на $9$, и чтобы равенство имело место в целых числах необходимо, чтобы и левая его часть, то есть число $a^3+b^3-c^3$ также делилось на $9$.
Известно, что остаток от деления на $3$ любого числа может принимать только значения $0,+1,- 1$, по этому число
$a^3+b^3-c^3$ в левой части равенства (2) не может при любой комбинации остатков $a$, $b$, $c$ превышать по модулю значение $3$, а число справа больше $9$ и делится на $9$. После деления на $9$ всего равенства, число справа всегда будет целым, а число слева целым быть не может, значит уравнение (2) не имеет решений в целых числах и наше предположение о том , что существует тройка положительных чисел , удовлетворяющих уравнению $x^3+y^3=z^3$ не верно, что доказывает верность утверждения П.Ферма при n=3.
Дед.

[Dan_Te]

Цитата:

а число справа больше 9 и делится на 9.

Почему это?
Что, если справа в скобках стоит ноль, и слева тоже ноль?

[Anatolii]

Так, как до утверждения, что a^3+b^3-c^3=кратно 9, то Б.Т.Ф для n=3 до этого пункта ещё не доказана, предположим, что, эти числа удовлетворяющие решению и есть a, b и c, тогда
уравнение равно ноль и получаем, что ноль кратен 9, следовательно Ваше утверждение ошибочно!

[Someone]

Anatolii писал(а):

... получаем, что ноль кратен 9, следовательно Ваше утверждение ошибочно!

А что, разве ноль не кратен 9??? А что это значит, что число $a$ кратно числу $b$?

[Dan_Te]

Помимо определения кратности:

Цитата:

предположим, что, эти числа удовлетворяющие решению и есть a, b и c, тогда уравнение равно ноль и получаем, что ноль кратен 9, следовательно Ваше утверждение ошибочно!

Однако, таких чисел a,b,c не существует. Если мы предположим их существование, то при должном терпении из этой неверной посылки мы сможем вывести все что угодно.

[shwedka]

Dan_Te писал(а):

Помимо определения кратности:

Цитата:

предположим, что, эти числа удовлетворяющие решению и есть a, b и c, тогда уравнение равно ноль и получаем, что ноль кратен 9, следовательно Ваше утверждение ошибочно!

Однако, таких чисел a,b,c не существует. Если мы предположим их существование, то при должном терпении из этой неверной посылки мы сможем вывести все что угодно.

Я, конечно, г-на Dan_Te поддерживаю,
но тут он чуть перегибает. Игра здесь идет при таких условиях:
известное отсутствие ррешений для 3 игнорируется,
и спекулянты пытаются, действительно,

Цитата:

вывести все что угодно,

демонстрируя терпение.
В принципе, нельзя исключить возможности элементарного доказательства от противного для тройки. Другое дело, что кроме терпения в месте, на котором сидят, нужно демонстрировать что-то на другом конце туловища....

[ljubarcev]

Вижу, что всех смущает нулевое решение уравнения
$a^3+b^3=c^3$. Замечу, что, так как одно из чисел $x, y, z$ делится на $3$ , то одно изчисел $a, b, c$
равняется $0$. Таким образом нулевое решение
уравнения $a^3+b^3=c^3$ принадлежит тому же
бесконечному множеству решений , которое имеет
исходное уравнение $x^3+y^3=z^3$ в случае, когдо
одно из чисел $x, y, z$ равно $0$. Кроме того, что бы уравнение $x^3+y^3=z^3$ имело решение, необходимо , что бы наименьшее из чисел $x< y, z$
было больше $3$. Так что нулевые решения здесь
не причем, а других нет.
Дед.

[er]

Для ферматиста рассуждения не плохи, более менее четко.

ljubarcev писал(а):

Известно, что остаток от деления на $3$ любого числа может принимать только значения $0,+1,- 1$

Вообще то, известно, что остаток от деления на $3$ любого целого числа может принимать только значения $0,1,2$.

Но это можно исправить.. Ошибка в

ljubarcev писал(а):

После деления на $9$ всего равенства, число справа всегда будет целым, а число слева целым быть не может,

на что многие и указали.

ljubarcev, неужели Вам невозможно понять в чем ошибка? Ошибаются все (ну, или почти все) математики, в доказательствах. Но они умеют проверять свои доказательства и после этого ошибок значительно меньше остается. Иногда ошибки доходят даже до научных публикаций, но рано или поздно их находят.

Умение проверять доказательство - это важное качество математика, тем более это чисто формальная процедура, не требующая никакой творческой работы.

[ljubarcev]

Автор Сообщение
er Добавлено: Пн Май 29, 2006 01:11:19 Заголовок сообщения: Re: ВТФ при n=3

--------------------------------------------------------------------------------
er писал(а):
Для ферматиста рассуждения не плохи, более менее четко.

ljubarcev писал(а):
Известно, что остаток от деления на $3$ любого числа может принимать только значения 0, +1, -1.
Вообще то, известно, что остаток от деления на $3$ любого целого числа может принимать только значения 0, 1, 2.

Но это можно исправить.. Ошибка в
ljubarcev писал(а):
После деления на 9 всего равенства, число справа всегда будет целым, а число слева целым быть не может,

на что многие и указали.

ljubarcev, неужели Вам невозможно понять в чем ошибка? Ошибаются все (ну, или почти все) математики, в доказательствах. Но они умеют проверять свои доказательства и после этого ошибок значительно меньше остается. Иногда ошибки доходят даже до научных публикаций, но рано или поздно их находят.
Умение проверять доказательство - это важное качество математика, тем более это чисто формальная процедура, не требующая никакой творческой работы.

Er! Ничего не надо исправлять! Вы хотите сказать, что я не заметил, что имется решение $1^3+2^3-0^3=9k$ и тогда обе части равенства делятся на $9$? Видел. Видел и то, что троек чисел, удовлетворяющих равенству $x^3+y^3- z^3=9k$
бесконечное множество. Но почему надо брать представление числа
в виде $y=3g+2$, когда имеется равноправное представление в виде $y=3(g+1)-1$, когда остаток равен $-1$, приводящее к желаемому результату - отсутствию делимости левой части на $9$. Ведь доказательство и состоит в том ,чтобы найти. Так что рассматривать необходимо только упомянутые нулевые решения. А они не относится ко множеству искомых решений, по причине которая указана ранее, а по этому поводу никто ничего не сказал.
Er! Большое спасибо за "каплю бальзама".
Дед.

[Dan_Te]

Вообще-то, вам уже все сказали.
Удивительная безграмотность.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Но почему надо брать представление числа
в виде $y=3g+2$, когда имеется равноправное представление в виде $y=3(g+1)-1$, когда остаток равен $-1$, приводящее к желаемому результату - отсутствию делимости левой части на $9$.

Так Вы считаете, что $0$ на $9$ не делится?

Когда-то я держал в руках учебник, который назывался "Арифметика по строительному делу". Вы, случайно, не по нему учились?

[ljubarcev]

Someone писал(а):

Так Вы считаете, что $0$ на $9$ не делится?

Когда-то я держал в руках учебник, который назывался "Арифметика по строительному делу". Вы, случайно, не по нему учились?

Уважаемый Someone! Конечно, $0$ делится на любое число. Обратного и не утверждалось. Наоборот, было указано: «Так что рассматривать необходимо только упомянутые нулевые решения. А они не относится ко множеству искомых решений, по причине которая указана ранее, а по этому поводу никто ничего не сказал».
Ясно, что уравнение $x^3+y^3=Z^3$ имеет беcконечное количества решений в иррациональных числах. Ему, например, удовлетворяет любая пара чисел $x$, $y$ при $z=\sqrt[3]{x^3+y^3}$. Оно также имеет бесконечное количество решений в целых числах, когда одно (наименьшее) из чисел $x$ или $y$равно $0$. Но последние решения – это не то, что имел ввиду Ферма.Ведь это решения уравнений $0^3+y^3=z^3$ и $0^3+b^3=c^3$? то есть совсем других уравнений, Уравнение $a^3+b^3=c^3$ так же является совсем другим уравнением, так как не удовлетворяет необходимому условию наличия решений у уравнения $x^3+y^3=z^3$ - наименьшее из чисел $x, y, z$ должно быть больше показателя степени $n=3$. Так как деление не нулевого значения равенства $a^3+b^3-c^3$ на $9$ нацело является необходимым условием существования решений у исходного уравнения $x^3+y^3=z^3$ , и так как этого нет, то и решений нет., что и утверждал П.Ферма.
Попутно замечу: если при взаимно простых $x, y , z$ уравнение $x^n+y^n=z^n$ при любом целом простом $n$ имеет решения в целых числах, то число $(a^n+b^n-c^n)/n^2$ должно быть целым ($a, b, c$ остатки от деления чисел $x, y, z$ на число $n$ соответственно).
Дед..

[Someone]

Господи, до чего же бестолковое рассуждение. Вам же всё это уже объясняли несколько месяцев назад, неужели так и не поняли?

Теорема Грюнерта, на которую Вы постоянно ссылаетесь, точно формулируется так:
Если натуральные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют соотношению $x^n+y^n=z^n$, то выполняются неравенства $x>n$, $y>n$, $z>n$.

Обратите внимание, что здесь речь идёт о натуральных числах, то есть, кроме того, что они целые, предполагается, что они не меньше 1. Если мы допускаем нулевые значения $x$, $y$, $z$, то теорема Грюнерта не работает. Также обращаю Ваше внимание на то, что при $n=2$ теорема Грюнерта тоже верна, поэтому Ваши рассуждения одинаково "доказывают" и неразрешимость в натуральных числах уравнения $x^2+y^2=z^2$, которое, однако, решения имеет.

Когда Вы переходите от чисел $x$, $y$, $z$ к их остаткам $a$, $b$, $c$ от деления на $n$, Вы лишаетесь возможности ссылаться на теорему Грюнерта, так как среди остатков $a$, $b$, $c$ могут оказаться нулевые. В частности, у Вас нет абсолютно никаких оснований утверждать, что $a^n+b^n-c^n\ne 0$.

[ljubarcev]

А. может быть Ферма в начале рассуждал так?
Евклид, доказывая бесконечность количества решений задачи о целочисленных прямоугольных треугольниках, рассуждал так. Если к квадрату прибавить нечетное число, то получим квадрат. Так как среди нечетных чисел бесконечное их число сами являются квадратами, то число решений треугольников Пифагора бесконечно.
В этом рассуждении заложен и способ нахождения таких решений. Действительно. В простейшем случае мы имеем: $x^2+2x+1=(x+1)^2$ (1).Если $2x+1=a^2$ , то $x=(a^2-1)/2$ и, подставив его значение в (1), получим давно известное решение: $(a^2-1)^2+(2a)^2=(a^2+1)^2$
Применим подобное рассуждение для степени $n=3$.
Ясно, что если к кубу любого числа $x$ прибавить не четное число вида $3x^2+3x+1$, то получим куб - $x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$ - это тождество. Если бы среди чисел вида $3x^2+3x+1$ были числа, являющиеся кубами, то мы имели бы решение уравнения вида $a^3+b^3=c^3$. Но число вида $3x^2+3x+1$ кубом быть не может. Действительно. Положим $3x^2+3x+1=y^3$, тогда$x=\frac{-3+\sqrt {12y^3-3}}{6}$. Число $12y^3-3$ не может быть квадратом, кроме единственного значения $y=1$ и, ясно, что при целом $y$, $x$ - иррационально.
Значит среди чисел вида $3x^2+3x+1$ нет ни одного куба, кроме 1 при $x=0$. Теперь ясно, что если к любому кубу прибавить именно куб, а не число вида $3x^2+3x+1$$, то в сумме мы никогда не получим куб и, значит, сумма двух кубов не может быть кубом.
Дед.

[juna]

Наверное Вы сами понимаете, что этим Вы доказали лишь, что равенство $a^3+b^3=(a+1)^3$ невозможно, и до доказательства ВТФ для $n=3$ палкой не докинуть.
Обучаясь в университете, я тоже страдал подобными проблемами, и вот что из этого получилось.

Лемма 1. $\forall x_1,x_2\in N(({x_1}, {x_2})=1\to(({x_1}.{x_2}),(x_1+x_2))=1).$

Теорема 1. Если сумма двух кубов равна кубу, то сумма этих чисел делится на 3 или сумма этих чисел сама равна кубу некоторого числа.

Доказательство: пусть $x_1^3+x_2^3=x_3^3$. Достаточно рассмотреть $(x_1,x_2)=1$
Имеем $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=x_3^3$. Поскольку $(x_1,x_2)=1$, то по лемме 1 имеем $(({x_1}.{x_2}),(x_1+x_2))=1$. Пусть $a_1=-(x_1+x_2)$, $a_2=x_1x_2$? т.е. $x_1^3+x_2^3=a_1(3a_2-a_1^2)=x_3^3$. Если $a_1\neq{3k}$, то $(a_1,(3a_2-a_1^2))=1$, значит $a_1=x_4^3$ и $3a_2-a_1^2=x_5^3$ ч.т.д.

Теорема 2. Если сумма кубов чисел равна кубу некоторого числа, то одно из этих чисел должно делиться на 3.

Доказательство: из теоремы 1 в виду симметрии рассуждений вытекает также, что
если $x_1^3+x_2^3=x_3^3$, то ($x_1+x_2\equiv{0}{mod{3}}$ или $x_1+x_2=x_4^3$) и ($x_3-x_2\equiv{0}{mod{3}}$ или $x_3-x_2=x_5^3$) и ($x_3-x_1\equiv{0}{mod{3}}$ или $x_3-x_1=x_6^3$) .
Пусть $x_1^3+x_2^3$ не делится на 3, т.е. $x_1+x_2=x_4^3$.
$x_3^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=x_4^3(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$. В виду взаимной простоты $x_4$ и $(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$ имеем, что $(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=x_7^3$.
Кроме этого, $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_4^3)^2$ или $3x_1x_2=(x_4^2)^3-x_7^3$.
Заметим, что $\forall a,b \in N$ если $a^3-b^3\equiv{0}mod{3}$, то $a^3-b^3\equiv{0}mod{9}$, значит $x_1x_2=3k$, а поскольку $(x_1,x_2)=1$, то $x_1 \equiv {0} mod{3}$ или $x_2 \equiv {0} mod{3}$.
Пусть $x_1\equiv {0}mod{3}$, тогда $x_1^3=(x_3-x_2)(x_3^2+x_3x_2+x_2^2)$, значит $x_3-x_2\equiv {0}mod{3}$ или $x_3-x_2=x_5^3$. Пусть $x_3-x_2\neq3m$, тогда $x_3-x_2=x_5^3$, но тогда в силу аналогичных рассуждений получим $x_3 \equiv 0mod 3$ или $x_2 \equiv 0 mod 3$, но $(x_1,x_2)=1$ ч.т.д.
P.S. В дальнейшем я был разочарован тем, что обнаружил, что все это лишь частное следствие теоремы Софи Жермен.