Давно доказано (и это совсем не трудно), что если уравнение вида

имеет решения в целых числах, то должны существовать решения в целых числах уравнения

, где

взаимно простые целые числа.
Допустим, что в целых числах имеет место равенство

(1) при

взаимно простых и

. Тогда:
1.

(2). Всегда

можно представить в виде

, где

– целое число,

- целый остаток при делении

на

. Всегда число

меньше

и взаимно просто с ним.
После подстановки

в (2) и возведения в куб получаем:

и после деления всего равенства на

получим:

. В последнем равенстве все слагаемые кроме дроби – целые числа, следовательно, что бы равенство имело место в целых числах, необходимо что бы и дробь

была целым числом. Так как

и

и

взаимно просты, очевидно, что

будет целым числом только и только при

.
Таким образом приходим к выводу: что бы равенство

имело решения в целых числах необходимо, что бы число

делилось на число

, то есть должно быть

.
2. Теперь возьмем

, и подставим в исходное равенство, представив последнее в виде

.
Получаем:

После деления на число

получаем, что должно иметь решения в целых числах равенство

. Слева имеем целое число, число справа целым быть не может, так как 3 не является квадратом, а

и

взаимно просты и поэтому они взаимно просты и с

. Этим доказано, что уравнение

решений в целых числах не имеет, а так как оно эквивалентно равенству

, эквивалентному в свою очередь исходному равенству

, то и последнее не имеет решений в целых числах. ЧТД.
Дед.