Полиномы с коэффициентом

[Schraube]

Мат писал(а):

Кроме того, любой полином $x^n+y^n$ может быть представлен как... <skip> еще интереснее:
$x^n+y^n=....<skip> =(x+y)^n-nxy\alpha$, где $\alpha$ - некоторый коэффициент, свойства которого слабо изучены.

Это неверно.
Положите, к примеру, $x=y$. Тогда в цитированном равенстве имеем $2x^n -2^n x^n =-nx^2 $\alpha$, где $\alpha$, и левая и правая часть имеют разные порядки роста на бесконечности, если $\alpha$ - постоянный коэффициент, "свойство которого слабо изучены"(с)

[Brukvalub]

У К. Саймака есть любимое мной произведение - "заповедник гоблинов".
Вот и в разделе "Дискуссионные темы" постепенно тоже некий заповедник организуется.....(см. начало тем http://dxdy.ru/topic22195.html , http://dxdy.ru/topic22109.html , http://dxdy.ru/topic22181.html , http://dxdy.ru/topic20447.html, http://dxdy.ru/topic21822.html. и т.д., и т.п.
При этом я не ставлю под сомнение уровень тех участников, которые приводили в этих темах контпримеры и всякими иными способами безнадежно пытались направить авторов на путь вменяемости.
Предлагаю название: "заповедник невежд".
С интересом посмотрю и на альтернативные названия.

[Schraube]

Brukvalub писал(а):

У К. Саймака есть любимое мной произведение - "заповедник гоблинов".
Вот и в разделе "Дискуссионные темы" постепенно тоже некий заповедник организуется.....
Предлагаю название: "заповедник невежд".
С интересом посмотрю и на альтернативные названия.

Не-ее ... Сайт хороший. На фоне остальных альт-помоек.
Только ферматистов многовато на душу населения.
А я с аспирантских времен усвоил два принципа общения с ферматистами.
1. Впечатляет только численный контрпример. Типа "1 = 2, коллега. Нехорошо как-то"
2. Работу нужно читать до первой ошибки и не вступать в дальнейшую полемику. Ибо жизнь так коротка...

[Мат]

Schraube писал(а):

Это неверно.
Положите, к примеру, $x=y$.

Самое страшное, что губит математику - это банальность. Давайте постараемся избегать банальностей вроде $x=y$, а напротив, искать все самое интересное. $x$ это $x$, а $y$ это $y$.
Если $\alpha$ - изученный коэффициент, поделитесь соображениями.

[Schraube]

Мат писал(а):

Schraube писал(а):

Это неверно.
Положите, к примеру, $x=y$.

Самое страшное, что губит математику - это банальность. Давайте постараемся избегать банальностей вроде $x=y$, а напротив, искать все самое интересное. $x$ это $x$, а $y$ это $y$.

Спасибо. Достаточно.
Моего аргумента Вы не поняли. Принято к сведению.

[Brukvalub]

Мат в сообщении #210493 писал(а):

Самое страшное, что губит математику - это банальность. Давайте постараемся избегать банальностей вроде $x=y$, а напротив, искать все самое интересное. $x$ это $x$, а $y$ это $y$.

Нет. Математика гибнет от рук неучей и невежд, которые вообразили себя знатоками таблицы умножения и мастерами бинома Ньютона, но боятся подставить в свой бред х вместо у.

[Мат]

Brukvalub писал(а):

Нет. Математика гибнет от рук неучей и невежд, которые вообразили себя знатоками таблицы умножения и мастерами бинома Ньютона, но боятся подставить в свой бред х вместо у.

Или знатоками вообще всего и вся, а сами двух букв связать не могут. Пока двух букв не свяжите, постарайтесь впредь не писать свой бред бредейший, тем более, кого-то учить. Учитель, который не знает ничего и учит - это уже вредитель.

[Schraube]

Мат писал(а):

Brukvalub писал(а):

Нет. Математика гибнет от рук неучей и невежд, которые вообразили себя знатоками таблицы умножения и мастерами бинома Ньютона, но боятся подставить в свой бред х вместо у.

Или знатоками вообще всего и вся, а сами двух букв связать не могут. Пока двух букв не свяжите, постарайтесь впредь не писать свой бред бредейший.

Да кто ж спорит? Буквы у Вас красивые. Что латинские, что греческие...
Некоторые даже отношением равенства почему-то связаны.

[Мат]

Schraube писал(а):

Да кто ж спорит? Буквы у Вас красивые. Что латинские, что греческие...
Некоторые даже отношением равенства почему-то связаны.

Да? И о чем они? Быть может еще о чем тема скажете? Я буду в восторге!
А еще лучше - обоснуете свое замечание про коэффициент $\alpha$. И то, что он как-то там растет на бесконечности - для меня НОЛЬ. Не вижу пользы в этом замечании. Вот предъявите мне свойства этого коэффициента, и не для $x=y=1$ (у знатока-нобелевского лауреата Brukvaluba), а для произвольных $x\neq y$. А пока не можете - учитесь, а не кого-то учите.

[Мат]

Schraube
Я даже подсказать придумал как такому гениальнейшему человеку как Вы убедить такую бездарь, неуча и невежду как я, в своем превосходстве. Начать можете так:
"Вы писали, что свойства коэффициента $\alpha$ в разложении:
$x^n+y^n=(x+y)^n-nxy\alpha$
слабо изучены.
Напротив, мне известно (или каким-то там математикам), что множителями коэффициента $\alpha$ в данном примере не могут быть простые числа вида $12n-1$ (к примеру, либо он состоит из множителей вида) и далее ссылки на работы математиков, установивших это.
Данный факт может быть использован в том, что из него следует, что $x^n+y^n$ ... (и практические выводы)."

Тогда я всецело признаю ваше превосходство и впредь буду относиться как к действительно грамотному человеку, решившему принять участие в обсуждении дилетантов. С наилучшими пожеланиями от неуча и невежды.

[Xaositect]

Вообще то, этот "коэффициент" зависит от $x$ и $y$.
если записать бином
$nxy\alpha = (x+y)^n-x^n-y^n = \sum_{i=1}^{n-1} C_n^i x^i y^{n-i} = xy\sum_{i=1}^{n-1} C_n^i x^{i-1}y^{n-i-1} = xy\sum_{i=0}^{n-2} C_n^{i+1} x^i y^{n-2-i} = nxy \sum_{i=0}^{n-2} \frac{C_{n-1}^{i}}{i+1} x^i y^{n-2-i}$
Значит, $\alpha = \sum_{i=0}^{n-2} \frac{C_{n-1}^{i}}{i+1} x^i y^{n-2-i}$ представляет собой однородный многочлен степени $n-2$ от переменных $x$ и $y$.
Не представляю, где это можно использовать.

[Мат]

Xaositect
Да, это действительно так. Но использовать можно. Пусть, например, коэффициент $\alpha$ не делится на $n$. Тогда случай 1 теоремы Ферма доказан, т.к. при некоторых преобразованиях, можно показать, что при условии выполнимости равенства Ферма, $\alpha\div n$. Это можно также увидеть в теме Petern1.
http://dxdy.ru/topic18275-240.html
К сожалению, коэффициент $\alpha$ всегда делится на $n$, при $n>5$ - простое. И где-то я это уже доказывал, не помню.

Добавлено спустя 18 минут 44 секунды:

Еще. Раз уж речь зашла за $\alpha$.
Я рассматривал подобные многочлены для небольших простых степеней. Все они делятся на $x+y$. Многочлены $\alpha$, деленные на $x+y$ имеют степень $n-3$ и очень похожи на $x^{n-3}+y^{n-3}$ как и на $(x+y)^{n-3}$. Вернее, представляют всегда нечто среднее между ними.
Кратко перечислю известные мне свойства:
1. Все их свойства разные. В зависимости от $n$. Например, многочлены от $7$-ой степени всегда квадраты. А мночлены от $19$-ой степени всегда содержат один множитель-квадрат.
2. Их множителями не могут быть простые числа, меньшие $n$. Но некоторые из них делятся на $(x-y)$, при $n=17$.
3. Все они делятся на

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}$$

- удивительное свойство, но доказать пока не могу.

Добавлено спустя 15 минут 20 секунд:

А ну-ка стоп.
Еще раз рассмотрим последнее свойство и применим его к доказательству теоремы Ферма:
$x^n+y^n=(x+y)^n-nxy(x+y)(x^2+xy+y^2)\alpha=z^n$
Откуда:
$(x+y)^n-z^n=nxy(x+y)(x^2+xy+y^2)\alpha$
Таким образом, число в левой части:
1. Делится на $x+y$, но это возможно только если $(x+y-z)\div(x+y)$, т.к. $x+y=z_0^n$. Либо на $x+y$ делится полиномная часть $(x+y)^n-z^n$, т.е. $x+y=2kn+1$???
2. Cодержит все стандартные множители $x,y,(x+y)$
3. Т.к. все множители полиномной части $(x+y)^n-z^n$ имеют вид $2kn+1$, а $x^2+xy+y^2>x+y-z$, то $x^2+xy+y^2$ имеет простые множители вида $2kn+1$?
Или я что-то путаю?

[Nilenbert]

Этот ваш "коэффициент" $\alpha$ уже давно был исследован. В частности, в книге Последняя теорема Ферма для любителей
в параграфе VII.2 приводится следующий результат:
Пусть $n\equiv \pm 1 (\mod 6)$. Тогда многочлен $(X+Y)^n-(X^n+Y^n)$ делится на $(X^2+XY+Y^2)^e$, но не делится на $(X^2+XY+Y^2)^{e+1}$, где

$$ e=1,\text{если $n\equiv -1(\mod 6)$} $$

$$ e=2,\text{если $n\equiv 1(\mod 6)$} $$

[Schraube]

Мат писал(а):

Schraube
Я даже подсказать придумал как такому гениальнейшему человеку как Вы убедить такую бездарь, неуча и невежду как я, в своем превосходстве. Начать можете так:
"Вы писали, что свойства коэффициента $\alpha$ в разложении:
$x^n+y^n=(x+y)^n-nxy\alpha$
слабо изучены.
Напротив, мне известно (или каким-то там математикам), что множителями коэффициента $\alpha$ в данном примере не могут быть простые числа вида $12n-1$ (к примеру, либо он состоит из множителей вида) и далее ссылки на работы математиков, установивших это.
Данный факт может быть использован в том, что из него следует, что $x^n+y^n$ ... (и практические выводы)."

Тогда я всецело признаю ваше превосходство и впредь буду относиться как к действительно грамотному человеку, решившему принять участие в обсуждении дилетантов. С наилучшими пожеланиями от неуча и невежды.

Уважаемый Мат.
Вы, к сожалению,используете последний аргумент всех альтов, ферматистов в том числе, а именно: начинаете иронизировать на пустом месте. Переходите на личности. Нехорошо это....
Обратите внимание: я Вас не знаю (образование, осведомленность в предмете и пр.). Вы меня - тоже.
А вопрос прост, как три рубля: я Вам указал на ошибку.
А "фейсом об тейбл" Вас возили многие. В чем проблема-то?
То, что любой симметрический многочлен в т.ч. $x^n + y^n$ представИм в виде многочленa от элементарных симметрических многочленов,( в Вашем случае от $xy$ и $(x+y)$ ) - стандартный материал, излагаемый первокурсникам. Есть и алгоритм нахождения такого представления. Но представИм отнюдь не в том виде, который Вы предложили. Я Вам на это указал. Точное представление имеется, а не "слабоизученное"(с) и оно есть есть во многих справочниках, монографиях и учебниках.
Книги читать не пробовали?

[age]

Schraube
Изучение коэффициента $\alpha$ не несет в себе никакой пользы и смысла не имеет.