Существует ли...

[Pi]

epros в сообщении #205374 писал(а):

Конструктивная логика - не троичная.

А тогда какая?

Я это прочел в
Конструктивная математическая логика. Новиков.1977.

epros в сообщении #205374 писал(а):

"это никому не нужно", да "этим никто не пользуется"

В отношении шум/польза. Шуму многовато, а пользы маловато.
Поэтому переводить все темы на обсуждение конструктивисткой логики это и есть шум.
Я свое мнение сказал - я не вижу сдесь пользы и какого-то принципиального прорыва в будущем.

[luitzen]

Pi писал(а):

epros в сообщении #205374 писал(а):

Конструктивная логика - не троичная.

А тогда какая?

Я это прочел в
Конструктивная математическая логика. Новиков.1977.

Вот к чему приводит плохое качество сканирования .

Счётнозначная. Точной конечной модели, увы, нет.

[epros]

Pi писал(а):

Поэтому переводить все темы на обсуждение конструктивисткой логики это и есть шум.

Это в мою сторону что-ли наезд? Я редко выступаю именно инициатором "перевода темы на обсуждение конструктивисткой логики": как правило инициирует кто-то другой, часто - критики конструктивизма. Я вовсе не сторонник того, чтобы все темы переводились на это, но в интересующих меня обсуждениях, естественно, участвую.

Pi писал(а):

Я свое мнение сказал - я не вижу сдесь пользы и какого-то принципиального прорыва в будущем.

Это Ваша проблема. Не только Ваша, конечно, такая проблема есть у многих. Можно, наверное, даже сказать, что где-то это проблема образования. Но уж точно это не проблема самого конструктивного анализа.

[Pyphagor]

Изоморфны ли группы $(R,+)$ и $(C,+)$?

[RIP]

http://dxdy.ru/topic21507.html

[Pyphagor]

RIP писал(а):

http://dxdy.ru/topic21507.html

Да, ужасно. А я еще пытался доказывать и был настроен на то, что не существует этого изоморфизма.

Добавлено спустя 24 минуты 12 секунд:

Пытался рассуждать так.
Если изоморфизм существует, то т.к. $C=R+iR$, то аналогичное представление
имеет и $R=R_1+R_2$, т.е. для всякого $x\in R $ имеем единственность представление $x=a+b, a\in R_1, b\in R_2$. Далее показал, что если $c\in R_i$, то $qc \in R_i$ для всякого рационального $q$. Тем самым оказалось, что подгруппы $R_i$ должны быть всюду плотны. Используя всюду плотность и их континуальность, наивно пытался построить противоречие.

[Nxx]

Вопрос можно переформулировать так: может ли на комплексной плоскости C быть задана линейная функция f(x), всегда принимающая вещественные значения? Ответ: нет. Все линейные функции на С можно записать в виде

$$f(z)=az+b$$

Легко доказывается, что такая функция имеет хотя бы одно не вещественное значение.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #209851 писал(а):

Вопрос можно переформулировать так

Нельзя.
$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, но $f(z) = \overline{z}$ не представляетя в таком виде.

[Nxx]

Хорошо, тогда вопрос можно поставить так: можно ли задать обратимую линейную функцию на С, такую, что принимает только вещественные значения?

Все линейные функции на С можно представить в виде

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Легко доказать, что если b не равно нулю, то она принимает хотя бы одно невещественное значение. Но если b равно нулю, то функция необратима, так как не зависит от мнимой части x.

[Xaositect]

Стоп, что-то я туплю
Вопрос в том, существует ли изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$.
Почему он обязательно линейной функцией должен задаваться? Требования непрерывности же нет.
Вот, скажем, $f(z) = \begin{cases}z,\ z\in \mathbb{Q}[i]\\0\ otherwise\end{cases}$ удовлетворяет соотношению $f(x+y) = f(x) + f(y)$, но нелинейна.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Стоп, что-то я туплю

Ага, есть немного Линейность над $\mathbb{Q}$ перепутали с линейностью над $\mathbb{C}$.

Линейность подразумевает равенство $f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)$. А скаляры $\lambda$ и $\mu$ берутся из какого-то поля, которое надо явно указывать

[Nxx]

Xaositect писал(а):

Стоп, что-то я туплю
Вопрос в том, существует ли изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$.
Почему он обязательно линейной функцией должен задаваться? Требования непрерывности же нет.
Вот, скажем, $f(z) = \begin{cases}z,\ z\in \mathbb{Q}[i]\\0\ otherwise\end{cases}$ удовлетворяет соотношению $f(x+y) = f(x) + f(y)$, но нелинейна.

Не удовлевтворяет:

$$f(2 + \pi) \ne f(2) + f(\pi)$$

[Xaositect]

Nxx в сообщении #209872 писал(а):

Не удовлевтворяет:

$$f(2 + \pi) \ne f(2) + f(\pi)$$

Действительно, не удовлетворяет.
Попытался упростить конструкцию с базисом Гамеля, не получилось. Наверно, и не получится ее упростить.

ddn в сообщении #203296 писал(а):

Разумеется можно.
Относительно поля рациональных чисел (без нормы - с конечными суммами) и $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ имеют одинаковую, а именно, континуальную размерность.
Нужно только провести взаимно однозначное соответствие $g$ между элементами их базисов и определить значение отображения $f$ на каждом базисном векторе $e$ линейного пространства $\mathbb{R}^2$ как базисный вектор $e'=g(e)$ линейного пространства $\mathbb{R}$, умноженный на некоторое (для каждого свое) рационально ненулевое число $q=q(e)$:
$f(e)=q(e)\cdot g(e)$.
По закону линейности, отображение $f$ непротиворечиво и единственно определяется на всем $\mathbb{R}^2$.
Это и будет искомая линейная биекция.

[Nxx]

Да чепуха это написана.

Любая функция, удовлетворяющая
$f(x+y) = f(x) + f(y)$

на С будет иметь вид:

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Ну а дальше легко доказывается, что она либо необратима, либо имеет вещественные значения.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #209878 писал(а):

Любая функция, удовлетворяющая
$f(x+y) = f(x) + f(y)$

на С будет иметь вид:

$$f(x)=a \text{Re}(x)+b \text{Im}(x) +c$$

Ну мы же на математическом форуме.
Доказательство?