Существует ли...

[Профессор Снэйп]

Это типа тест на выявление конструктивистов. Сколько их среди нас?

[luitzen]

Профессор Снэйп писал(а):

Существует ли биекция $f$ из $\mathbb{R}^2$ на $\mathbb{R}$, для которой $f(x+y) = f(x)+f(y)$ ?

А я вопрос не понял . Видимо, я гиперконструктивист… Или гипо-  .

[Профессор Снэйп]

luitzen писал(а):

А я вопрос не понял . Видимо, я гиперконструктивист… Или гипо-  .

Можно ли взаимно-однозначно отобразить множество векторов плоскости на действительную прямую так, чтобы сумма любой пары векторов переводилась в сумму соответствующих им чисел?

[ddn]

Разумеется можно.
Относительно поля рациональных чисел (без нормы - с конечными суммами) и $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ имеют одинаковую, а именно, континуальную размерность.
Нужно только провести взаимно однозначное соответствие $g$ между элементами их базисов и определить значение отображения $f$ на каждом базисном векторе $e$ линейного пространства $\mathbb{R}^2$ как базисный вектор $e'=g(e)$ линейного пространства $\mathbb{R}$, умноженный на некоторое (для каждого свое) рационально ненулевое число $q=q(e)$:
$f(e)=q(e)\cdot g(e)$.
По закону линейности, отображение $f$ непротиворечиво и единственно определяется на всем $\mathbb{R}^2$.
Это и будет искомая линейная биекция.

[Профессор Снэйп]

А почему, собственно, базисы существуют? Их как-нибудь можно задать более-менее "явно"? По моему, никак. Не, можно их, конечно, по трансфинитной индукции построить, но всё один хрен... сами континуальные ординалы, которые будут задействованы в индукции, "конструктивно" не строятся.

С точки зрения классической математики нужная биекция да, существует. Но это --- чистая теорема существования. Думаю, товарищей типа Руста должно просто передёргивать от таких вещей.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #203312 писал(а):

С точки зрения классической математики нужная биекция да, существует. Но это --- чистая теорема существования. Думаю, товарищей типа Руста должно просто передёргивать от таких вещей.

Руст в начале деятельности форума предлагал немало интересных задач. Некоторые из них решались именно с применением базисов Гамеля.
Можно поискать в архиве.

[Профессор Снэйп]

Руст поменял конфессию

[ha]

Биекция-то существует, только практической пользы от нее мало. Ценность конструктивных доказательств никто не отменял.

[epros]

Профессор Снэйп писал(а):

Это типа тест на выявление конструктивистов. Сколько их среди нас?

Интересно, а каков критерий выявления конструктивистов по результатам теста? Например, я полагаю, что ответ "не существует" является неконструктивным.

[AD]

А доказывается ли независимость этой штуки от аксиомы выбора?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

А доказывается ли независимость этой штуки от аксиомы выбора?

Я точно не знаю, но мне почему-то кажется, что, наоборот, эта штука от аксиомы выбора зависит. То есть без аксиомы выбора невозможно доказать существование биекции, сохраняющей суммы. Хотя опять же, повторюсь, точно не знаю.

[Руст]

AD писал(а):

А доказывается ли независимость этой штуки от аксиомы выбора?

Существование вытекает из аксиомы выбора. Но никто не сможет дать явное построение. Поэтому, от такого ответа "существует" никакого толка.
Что касается конструктивизма, то там и множество действительных чисел другое, базис счётный, соответственно если этот базис конструктивный, то и ответ положительный, вопреки ожиданиям Профессора Снейп.

[Pi]

Руст в сообщении #203466 писал(а):

Но никто не сможет дать явное построение.

Есть такое построение, называются р-адические числа или близкие к ним.
Вот например легкий сайт с очень легким введением http://tapemark.narod.ru/chisla.html там же показанно как.
Так что можно и многими способами причем сугубо конструктивистки.

[Руст]

Pi писал(а):

Руст в сообщении #203466 писал(а):

Но никто не сможет дать явное построение.

Есть такое построение, называются р-адические числа или близкие к ним.
Вот например легкий сайт с очень легким введением http://tapemark.narod.ru/chisla.html там же показанно как.
Так что можно и многими способами причем сугубо конструктивистки.

Во первых, p -адические числа (неархимедовы) далеки от (архимедовых) действительных чисел. Во вторых, в p- адических числах не существует такого гомоморфизма. Возможно вы спутали с формальными рядами $\sum_{i>-\infty} a_ix^i, a_i\in Z/pZ$. Хотя они так же относятся к А полям по Вейлю, но уж совсем далеки от действительных чисел.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Что касается конструктивизма, то там и множество действительных чисел другое, базис счётный, соответственно если этот базис конструктивный, то и ответ положительный, вопреки ожиданиям Профессора Снейп.

Ну я согласен с тем, что не совсем точно выразился. Возможно, речь шла не о конструктивизме, а об интуиционизме. Или, более широко, о "конструктивной" математике в кавычках. Под "конструктивистами" в данном случае я понимал людей, не приемлющих чистых теорем существования и считающих, что существование объекта доказано лишь тогда, когда указан способ его построения.

А если всё-таки обратиться к конструктивным действительным числам... Есть ли там вообще базис в конструктивистском смысле? Я вот что-то не уверен, хотя наверняка утверждать не берусь. Если взять конструктивистский универсум вычислимых действительных чисел и посмотреть на него с классической точки зрения, то базис, безусловно, есть. Но можно ли этот базис построить конструктивно? Существует ли алгоритм его построения?

P. S. Правильно говорить "вопреки ожиданиям профессора Снэйпа". Я всё-таки мужского пола

Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд:

Руст писал(а):

Но никто не сможет дать явное построение.

А это доказано (то, что без аксиомы выбора доказать существование базиса в $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ невозможно)?

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

epros писал(а):

Например, я полагаю, что ответ "не существует" является неконструктивным.

Мне кажется, что, скорее, наоборот