Насчет неизмеримости Вы правы.
На самом деле можно построить (измеримое) множество

положительной меры, что для любого

и для любого

бесконечно часто. В таком случае в качестве страшной функции

подойдет индикатор

(более того, не для почти всех

найдется

, что последовательность

сходится к

).
Как построить такое множество:
пример 2.11 (язык английский).
-- Вт май 26, 2009 19:50:30 --Вместо

можно взять любую другую сходящуюся к нулю (но не обращающуюся в нуль) последовательность, правда, в таком случае обобщенный пример (с любым

) никто не знает, как построить, но пример для исходного вопроса есть (ibid, теорема 2.9).