Измеримые функции

[cody]

Построить на $[0.1] такую ограниченую измеримую функцию $f(x), для которой последовательность f_k(x) = f(x-\frac 1 k)не является почти всюду сходящейся.Решение нашел, но оно очень длинное.

[AD]

Ну совсем халявного решения и не будет. Ясно, например, что функция $f$ не должна быть эквивалентна непрерывной почти всюду (то есть уже наверняка какая-нибудь возня с канторовыми множествами положительной меры), а также что сходимость по мере заведомо будет даже в более жесткой форме - просто $f(x-t)$ всегда будет сходиться к $f(x)$ по мере, а в случае суммируемости $f$ - и в $L_1$.

[Профессор Снэйп]

Да тут вроде от $f$ вообще ничего не требуется! Просто функция и всё!!!

[AD]

Кстати да, характеристическая функция неизмеримого множества из примера Витали, похоже, подходит. То есть если автор написал заголовок темы исключительно по Фрэйду, то всё хорошо.

[pirat]

У меня почти похожая задача, только на $f$ условия : ограниченная и измеримая.Следовательно из примера Витали не подходит(насколько я знаю, характеристическая функция неизмеримого неизмерима,исправьте, если не прав)

[Хорхе]

Насчет неизмеримости Вы правы.

На самом деле можно построить (измеримое) множество $S$ положительной меры, что для любого $\lambda\neq 0$ и для любого $x$ $x+\lambda/n\notin S$ бесконечно часто. В таком случае в качестве страшной функции $f$ подойдет индикатор $S$ (более того, не для почти всех $x$ найдется $\lambda\neq 0$, что последовательность $f(x+\lambda/n)$ сходится к $f(x)$).

Как построить такое множество: пример 2.11 (язык английский).

-- Вт май 26, 2009 19:50:30 --

Вместо $1/n$ можно взять любую другую сходящуюся к нулю (но не обращающуюся в нуль) последовательность, правда, в таком случае обобщенный пример (с любым $\lambda\neq 0$) никто не знает, как построить, но пример для исходного вопроса есть (ibid, теорема 2.9).