2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Измеримые функции
Сообщение29.04.2009, 11:38 
Построить на $[0.1]   такую ограниченую измеримую функцию $f(x), для которой последовательность f_k(x) = f(x-\frac 1 k)не является почти всюду сходящейся.Решение нашел, но оно очень длинное.

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 11:58 
Ну совсем халявного решения и не будет. Ясно, например, что функция $f$ не должна быть эквивалентна непрерывной почти всюду (то есть уже наверняка какая-нибудь возня с канторовыми множествами положительной меры), а также что сходимость по мере заведомо будет даже в более жесткой форме - просто $f(x-t)$ всегда будет сходиться к $f(x)$ по мере, а в случае суммируемости $f$ - и в $L_1$.

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 13:53 
Аватара пользователя
Да тут вроде от $f$ вообще ничего не требуется! Просто функция и всё!!!

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 15:26 
Кстати да, характеристическая функция неизмеримого множества из примера Витали, похоже, подходит. :) То есть если автор написал заголовок темы исключительно по Фрэйду, то всё хорошо.

 
 
 
 Re: Измеримые функции
Сообщение25.05.2009, 14:38 
У меня почти похожая задача, только на $f$ условия : ограниченная и измеримая.Следовательно из примера Витали не подходит(насколько я знаю, характеристическая функция неизмеримого неизмерима,исправьте, если не прав)

 
 
 
 Re: Измеримые функции
Сообщение26.05.2009, 18:45 
Аватара пользователя
Насчет неизмеримости Вы правы.

На самом деле можно построить (измеримое) множество $S$ положительной меры, что для любого $\lambda\neq 0$ и для любого $x$ $x+\lambda/n\notin S$ бесконечно часто. В таком случае в качестве страшной функции $f$ подойдет индикатор $S$ (более того, не для почти всех $x$ найдется $\lambda\neq 0$, что последовательность $f(x+\lambda/n)$ сходится к $f(x)$).

Как построить такое множество: пример 2.11 (язык английский).

-- Вт май 26, 2009 19:50:30 --

Вместо $1/n$ можно взять любую другую сходящуюся к нулю (но не обращающуюся в нуль) последовательность, правда, в таком случае обобщенный пример (с любым $\lambda\neq 0$) никто не знает, как построить, но пример для исходного вопроса есть (ibid, теорема 2.9).

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group