Но все таки хотелось бы разобраться до конца
Трогательно и похвально

.
Далее я, по-видимому, предлагаю то же, что и
GAA, только другими словами, более близкими к моему мозгоустройству.
Первый подход.
Имеется вектор --- ось вращения

. Поскольку мы не умеем поворачивать вокруг неё, но умеем, например, вокруг оси

, то поищем преобразование

, такое, чтобы оно нашу ось выставило вертикально. Раз уж вектор

был получен из

двумя поворотами, эту подзадачу, видимо, решают два обратных поворота, сначала на

, потом на

:

. Убедитесь, что да, векторочек ОА встал вертикально:

. Теперь совершаете известный поворот вокруг оси

на

(описываемый некой матрицей

). Теперь совершаете преобразование, обратное

. Итог: искомая матрица ---

. В частности, если было

, то итог будет

.
Самопровека: действие полученной матрицы на ось

должно оставлять её на месте при любом

.
Второй подход.
Но по-хорошему задачу надо решать в общей постановке, т.е. заняться чисто выводом той самой универсальной формулы. И желательно в приличных обозначениях. Забыть про Ваш конкретный смысл углов

: это некий частный случай, который потом можно подставлять в универсальную формулу.
Имеется вектор --- ось вращения

(

; или возьмите сферические координаты,
как предлагал GAA) . Поскольку мы не умеем поворачивать вокруг неё, но умеем, например, вокруг оси

, то поищем преобразование

, такое, чтобы оно нашу ось выставило вертикально:

. Вам было проще искать такой поворот, когда углы

трактовались в Вашем смысле (наша полемика про "составляют" --- "повёрнуты"). Что же, используйте это, посмотрите например те же проекции, найдите переход от одной терминологии к другой. Или поймите, что это предварительное преобразование есть поворот на некий угол

вокруг оси

(векторное произведение; не забыть потом про нормировку). Попробуйте его наглядно представить и реализовать. Далее --- тот же поворот на угол

или

(потому что обозначение

нам теперь не нравится) вокруг

и обратное преобразование,

.
Самопровека: действие полученной матрицы на ось

должно оставлять её на месте при любом

.
Добавлено спустя 20 минут 48 секунд:
И поймите-осознайте, что если Вы вектор

повернули матрицей

, то получили вектор

.
Если Вы затем вектор

повернули матрицей

, то получили вектор

.
Если Вы затем вектор

повернули матрицей

, то получили вектор

.
Эти три операции можно заменить одним действом, матрицей

.
Тем самым я обосновал Вам порядок матриц в произведении --- 3, 2, 1 для последовательности действий 1, 2, 3.