Случайность и закономерность

[Мат]

AD
Это понятно, что все четыре события равновероятны. Но автор, как мне кажется, спрашивает не это. Под событием №2 он подразумевает, я так понял, все исходы, когда будет подряд половина нулей и половина единиц (вне зависимости от их порядка). Под событием №4 - все исходы, когда орлы и решки упадут через один. Под событием три - все случайные события, когда орел и решка выпадут ровно 25 раз, т.е. поровну. Вот вероятности этих случаев я и привел.
И как мне кажется, именно в силу этих причин людям кажется, что событие, скажем $000000$ менее вероятно чем событие $001011$.

[gris]

Schraube писал(а):

Или у Вас "неслучайность" имеет какой-то очень специфический смысл?
Какой именно:?:

Я имел в виду чисто психологический смысл. Далёкий от теории чисел человек скажет, что число 7777777777 не могло появиться случайно. А 111001111100101110111100001110001 рядовой результат подбрасывания монетки. Хотя это одно и то же число, записанное в разных системах счисления

к тому же слова - более "случайной" - употребил сам автор темы в первом посте.

[nikov]

Мат писал(а):

AD
Это понятно, что все четыре события равновероятны. Но автор, как мне кажется, спрашивает не это. Под событием №2 он подразумевает, я так понял, все исходы, когда будет подряд половина нулей и половина единиц (вне зависимости от их порядка).

Нет, я имею в виду именно то, что я написал. Не последовательности "такого типа" или "похожие", а именно эти.

[Schraube]

Цитата:

Я имел в виду чисто психологический смысл.

Да, интеллект подчас мешает.
В двумерном случае еще круче. Мозги сильно реагируют на подобие некой "структурированности"

[nikov]

Вопрос для тех, кто считает, что нет оснований предпочесть какую-либо из этих последовательностей остальным:
Предположим, некий азартный человек, не знающий заранее никакой дополнительной информации кроме указанной в условии, предлагает вам сыграть в игру: он делает ставку в 100000 рублей на то, что именно последовательность 3 была получена подбрасыванием монетки, а вы - ставку всего в 1000 рублей на то, что это любая из поледовательностей 1, 2 или 4. Игра очень выгодна для вас, не так ли?

[gris]

Раньше такие азартные, но очень простодушные люди на всех рынках напёрстками двигали. А для большего эффекта использовали теннисные шарики и пластмассовые стаканы из под кока-колы. А некоторые особо простодушные даже прозрачные стаканы.

[AlexDem]

Посмотрим на это дело под таким углом: поставим на широкой стене три точки. Какова вероятность того, что случайно ткнув пальцем в стену, мы попадём в одну из этих точек? Сколько "красивых" (то есть - регулярных, периодических) последовательностей из 50 нулей и единиц существует? Гораздо меньше, чем "некрасивых". Поэтому если нам достоверно известно, что одна и только одна из черырёх последовательностей была получена в одной-единственной серии подбрасывания монетки, то с большой степенью вероятности она будет "некрасивой". С другой стороны, если бы мы играли в другую игру, а именно - нужно было бы определить, сколько последовательностей из представленных были получены подбрасыванием монетки - ответ нельзя было бы дать с такой очевидностью. Ведь для того, чтобы получить последовательность из одних нулей, наш игрок мог совершить кучу попыток, и таки получить её.

[gris]

А недавно некто утверждал, что после 10 орлов с вероятностью $\pi^{-1}$ выпадет решка

[AlexDem]

gris в сообщении #208830 писал(а):

А недавно некто утверждал

Не нашёл чё-то...

[Мат]

nikov писал(а):

Нет, я имею в виду именно то, что я написал. Не последовательности "такого типа" или "похожие", а именно эти.

Тогда необходимо в себе победить "обман зрения", что эти последовательности разные и принять, что они равновероятны.

Добавлено спустя 9 минут 41 секунду:

nikov писал(а):

Вопрос для тех, кто считает, что нет оснований предпочесть какую-либо из этих последовательностей остальным:
Предположим, некий азартный человек, не знающий заранее никакой дополнительной информации кроме указанной в условии, предлагает вам сыграть в игру: он делает ставку в 100000 рублей на то, что именно последовательность 3 была получена подбрасыванием монетки, а вы - ставку всего в 1000 рублей на то, что это любая из поледовательностей 1, 2 или 4. Игра очень выгодна для вас, не так ли?

Предлагаю другую игру, т.н. Санкт-Питербургский парадокс:
Игра заключаетя в подбрасывании монеты. Игра прекращается при первом появлении герба, при этом вы платите мне $1, 2, 4,..., 2^n$ и т. д. рублей в зависимости от того, на каком "броске" $n$ впервые выпал герб.
Необходимо определить оптимальную стоимость участия в предлагаемой игре.
Фишка заключается в том, что средний выигрыш в игре получается равным:

$$B=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n-1}}{2^n}}=\infty$$

Что позволяет участвовать в игре при любой ставке, что само по себе парадоксально. Предлагаю определить правильную ставку за участие в игре.

[RIP]

AD в сообщении #208605 писал(а):

P.S. А еще я слышал про некоторое количество теорем, начинающихся со слов "типичная функция".

Someone в сообщении #208621 писал(а):

Если не ошибаюсь, слово "типичная" в этой теореме означает, что функции, дифференцируемые хотя бы в одной точке, образуют в $C[0,1]$ множество первой категории (объёдинение счётного числа нигде не плотных множеств). Видимо, то же самое относится и к функциям, которые какое-нибудь значение принимают конечное или счётное число раз, но я об этой теореме не слышал.

И вообще, говорят, что типичная точка топологического пространства обладает неким свойством, если им обладают все точки, за исключением тощего множества (как-то так). По крайней мере примерно такое определение давал Т.П. Лукашенко на одном спецсеме. Там же упоминалась теорема про то, что типичная непр. на отрезке ф-я принимает каждое своё значение несчётное число раз (вроде бы её не так давно доказали). Но не ручаюсь, что правильно помню.

[nikov]

Мат писал(а):

Игра заключаетя в подбрасывании монеты. Игра прекращается при первом появлении герба, при этом вы платите мне $1, 2, 4,..., 2^n$ и т. д. рублей в зависимости от того, на каком "броске" $n$ впервые выпал герб.
Необходимо определить оптимальную стоимость участия в предлагаемой игре.

Будет справедливо, если мне выдадут печатный станок и право на его использование.

Добавлено спустя 44 минуты 50 секунд:

Давайте я дам подсказку, чтобы упростить задачу: случайным бросанием получена одна из последовательностей 1, 3.

[gris]

nikov, вот Вы говорите, что одну из последовательностей Вы с помощью монетки получили.А остальные как? Вы же тоже применяли какой-то случайный механизм? Ведь не написали Вы последовательность из одних единиц или типа 110110110.... или 011011011...

Да я просто уверен, что Вы накидали последовательность 1 и так поразились, что теперь считаете, что Бога нет и Вам всё можно.

[nikov]

gris писал(а):

nikov, вот Вы говорите, что одну из последовательностей Вы с помощью монетки получили.А остальные как? Вы же тоже применяли какой-то случайный механизм?

Условие задачи преднамеренно не раскрывает способ получения других последовательностей.

[gris]

Разве это задача? Чего то я не встречал математических задач с вопросом Как вы думаете? Насчёт вероятностей ВЫ же и ответили - по 1/4 на вариант.