Случайность и закономерность

[PAV]

В математической статистике нет задач только с одной гипотезой. Обязательно должна быть указана (нулевая) гипотеза и альтернатива. В зависимости от альтернативы один и тот же исход может приводить к противоположным решениям.

Особенно в данной задаче, где при нулевой гипотезе все четыре предложенных исхода равновероятны, поэтому оснований предпочесть никакой из них нет. Но автор указал в качестве альтернативы, что остальные три последовательности он придумал сам. Для строгой постановки не хватает только распределения вероятностей на цепочках, которые мог придумать автор вопроса. Но мы здесь домысливаем сами, что наиболее правдоподобным (почти строго в смысле математической статистики) является предположение, что автор придумывал регулярные последовательности, а единственная нерегулярная - как раз случайная.

Если бы автор заявил бы, что, скажем, одна из этих последовательностей получена бросанием правильной монеты, а остальные - неправильной, у которой одна из сторон выпадает чаще другой, то решение могло бы быть иным. Мы бы могли попробовать определить, какая из сторон выпадает чаще (зная, что таких несимметричных последовательностей три), и после этого решения выбрали бы в качестве случайной либо состоящую из всех нулей, либо из всех единиц.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

(Если бы вторая последовательность состояла бы из одних единиц).

[--mS--]

PAV писал(а):

Особенно в данной задаче, где при нулевой гипотезе все четыре предложенных исхода равновероятны, поэтому оснований предпочесть никакой из них нет.

Когда в статистике рассматриваются выборки из непрерывных распределений, то любые из них тоже бывают равновозможны, и даже имеют нулевую вероятность появиться. Однако это не мешает статистическим выводам. Скажем, критерий хи-квадрат, проверяя гипотезу о правильности монеты при альтернативе, что она неправильная, по данным четырём выборкам (по каждой в отдельности) вполне в состоянии отбросить первую, а какой-нибудь критерий, основанный на числе серий, проверяющий независимость и одинаковую распределённость (при альтернативе, что что-то не так) - вторую и четвёртую.

[bot]

--mS-- в сообщении #209334 писал(а):

... проверяя гипотезу о правильности монеты при альтернативе

Это уже не та задача, верно?
Впрочем в исходной вообще математической постановки вообще не было, AD говорил, что это ближе к философии. Это однако скорее психология, можно устраивать спортлото.

[AlexNew]

Eсли рассмотреть бесконечное число подбрасывания монетки, из результатов которого мы наугад выбираем послед 10 исходов, то можно применить определенные критерии по которым можно разбить все последовательности на классы. При это окажется что одни классы будут содержать большее количество возможных последовательностей чем другие.
Каждая последовательность конечно равновероятна, а вот классы будут иметь различную вероятность.
На каждую последовательность можно смотреть как на представителя класса которому соответствует определенная вероятность.
(пример класса: все 1, колличество единиц в последовательности = 4 ,.. )

Интересно как можно определить такие классы разумно?
как только мы это сделаем мы сможим получить вероятность обнаружить последовательность из данного класса.

предложение Pi использовать корреляцию пока единственное.

Предложение worm2 сделать это через энтропию интересно, но думаю тут дальше теории дело не сдвинется :- )

Не понятно насколько изменится результат если мы используем другой критерий разбиения?
(чем энтропия вытащенная за уши из машины тюринга лучше корреляции? вопрос к Pi наверное)

[AlexDem]

bot в сообщении #209338 писал(а):

можно устраивать спортлото

Всем проголосовавшим можно поставить на свой вариант по виртуальному рублю, а потом автор огласит результат - если он под номером 2 или 4, то выигрывают участники, выбравшие "Нет оснований", а если, вдруг, под номером 1, то всё загребает один, самый хитрый участник

[gris]

Это нечестно. Я уже писал, что хотел проголосовать за вариант 1, но ранее проголосовал за 3. Так что в случае выигрыша варианта 1 прошу мне тоже что-нибудь дать.

[Профессор Снэйп]

Вот будет прикольно, если автор темы вдруг заявит, что третья последовательность тоже не случайна. А представляет из себя, к примеру, последовательность двочных знаков числа $\pi$ или что-нибудь в этом роде

Вообще, тема, как ни странно, оказалась довольно "глубокой". Автору респект! Сам при голосовании выбрал последний вариант, но если бы речь шла о денежном споре и были бы гарантии того, что автор не мухлюет, выбрал бы вариант номер 3.

[Pi]

Случайность и вероятность совершенно разные вещи.
Вероятность можно вычислить для чего угодно. Это чисто вычислительная величина.
А случайность это утверждение, требующая доказательств и проверки.

bot в сообщении #209338 писал(а):

AD говорил, что это ближе к философии. Это однако скорее психология,

Это и не философия и не психология.
Все строго математическое. Задача корректная абсолютно.
Это
СИММЕТРИЯ! Надеюсь слышали о такой?
На этом цельная наука построенна - теория групп.
Так вот (обобщенный) коэффициент корреляции и есть мера симметричности. Там где (абсолютный) коэффициент корреляции (почти) равен единице, там и есть симметрии.

Вот эти симметрии мы и видим.

AlexNew в сообщении #209369 писал(а):

(чем энтропия вытащенная за уши из машины тюринга лучше корреляции? вопрос к Pi наверное)

Я сказал что энтропия не причем, она вообще не адекватна. Энтропия это СРЕДНЕЕ количество информации. Мы же здесь видим частности, а не среднее. Только корреляции показывают меры подобия.
Чтоб понять почему энтропия здесь не адекватна, задайтесь вопросом какова пропускная способность канала должна быть чтоб послать эти последовательности. Она будет одна и таже, потому-что по условию задачи вероятность появлени каждого символа все равно 1/2.

[AlexDem]

Pi в сообщении #209448 писал(а):

Все строго математическое. Задача корректная абсолютно.

Нет, не абсолютно - мы не можем никак определить, какие последовательности автор на самом деле считает "красивыми" (симметричными) - он же не обязался в условии привести их все. Поэтому здесь нельзя дать точный ответ. Но всё же, всё же... У него было бы мало шансов поставить эту задачу в случае, если реальной последовательностью была бы иная из представленных, кроме 3-ей, в качестве которой могла бы выступать любая другая. В его честности мы здесь не сомневаемся, а то:

Профессор Снэйп в сообщении #209441 писал(а):

Вот будет прикольно, если автор темы вдруг заявит, что третья последовательность тоже не случайна.

автор тогда получит виртуальных тумаков

gris в сообщении #209435 писал(а):

Это нечестно.

А где Вы видели честную лотерею?

[Pi]

AlexDem в сообщении #209470 писал(а):

последовательности автор на самом деле считает "красивыми" (симметричными)

Ну уж нет - понятие симметричности - строго математическое и не зависит от вашей или автора мнения. Можно выбирать только класс симметрии.

Тот факт что симметричность у человека коррелирует с красотой доказанно психологами и с древних времен. Поэтому класс симметрий задан "почти" однозначно. В нашем случае это линейно-циклическае сдвижковая симметрия.

И потом автор ни слова не сказал про красоту - это уж ваши личные дополнения к условиям задачи. Автор говорил про случайность, а это синоним детерминированности - хаотичности.

Поэтому слово "почти" не играет роли, поскольку оно относится к термину "красота". А для установления факта случайности в конечной линейной последовательности корреляция по линейно-циклической сдвижковой симметрии является вполне адекватным критерием для этой задачи с этими последовательностями.

[AlexDem]

Pi в сообщении #209477 писал(а):

Ну уж нет - понятие симметричности - строго математическое

Хорошо, тогда такой Вам вопрос - сколько конкретно существует симметричных последовательностей из 50 нулей и единиц?

Pi в сообщении #209477 писал(а):

И потом автор ни слова не сказал про красоту - это уж ваши личные дополнения к условиям задачи. Автор говорил про случайность, а это синоним детерминированности - хаотичности.

Ничто не мешает ему причислить к детерминированным также и некоторую последовательность знаков числа $\pi$ - ведь даже про симметричность он ничего не говорил, это наши домыслы.

[luitzen]

Pi в сообщении #209448 писал(а):

А случайность — это утверждение, требующая доказательств

.

Я вклинюсь в тему и замечу, что в S4 (есть такая модальная система) не может быть выведено никакой формулы, начинающейся с оператора «случайно». Есть и некоторые усиления этого утверждения; правда, за другие системы ничего не скажу.

[bubu gaga]

Не подойдёт ли коэффициет авторегрессии?

То есть я хотел сказать, что под случайностью почему-то подразумевается независимость, а независимость говорит, что все четыре последовательно равновероятны. Теперь если предположить, что испытания на самом деле независимы, то получить выборку где оценка коэффициент авторегрессии равна то единице, то минус единице очень маловероятно.

Пока писал, написал ewert

[Pi]

AlexDem в сообщении #209485 писал(а):

причислить к детерминированным также и некоторую последовательность знаков числа $\pi$

А вот это хорошо известный математический факт, что цифры в числе $\pi$ совершенно случайны, в том смысле, что зная любой набор цифр этого числа мы не можем ничего сказать об неизвестной цифре (скажем известна длинная последовательность до этой цифры и длинная последовательность после этой цифры) из этого набора цифр. Цифра полностью случайна, если мы не знаем конкретно что это именно число $\pi$. И $\pi$, в этом смысле, строгая псевдослучайная последовательность.
Псевдослучайность не отличима от случайности, кроме того факта, что мы можем указать формулу ее генерации.
А так, если формулу не знать, то мы никак не можем их различить. Они не различимы и, следовательно, с ними можно оперировать одинаково.

[ewert]

Проверяем гипотезу $H_0$: каждый следующий результат не зависит от предыдущего. Всего имеем 49 равновероятных пар: (00, 01, 10, 11). Ожидаемые количества исходов -- по 12.25. Фактические количества исходов:

Для (1): 49, 0, 0, 0;
Для (2): 24, 0, 1, 24;
Для (3): 12, 12, 12, 13;
Для (4): 0, 25, 24, 0.

Соответствующие статистики Пирсона: 147; 45.122; 0.061; 49.041.

Для третьей последовательности гипотеза принимается с доверительной вероятностью что-то порядка 99.5%. Для всех остальных -- безнадёжно отвергается.