Определение угла

[AD]

Pi в сообщении #207403 писал(а):

А если в пространстве вообще не заданно никакое скалярное произведение?

У меня вот другой вопрос. А если два скалярных произведения задано на одном линейном пространстве? И оба очень нужны? Такое бывает. На сторону какого из них встанет ваше "единственно правильное"?

[Pi]

А причем тут скалярное произведение?
Угол это понятие метрическое. То есть является "следствием" понятия растояния.
Как растояние есть понятие метрическое одномерное, так и угол понятие метрическое двухмерное.
То скалярное произведение что выражается через метрику, то и будет соответствовать.

И вообще в пространстве может быть задана угловая мера, а из нее выводиться расстояние, а потом если есть желание скалярное произведение.

[Лиля]

Pi в сообщении #207430 писал(а):

угловая мера, а из нее выводиться расстояние,

а как можно из угловой меры вывести метрику? (мне просто интересно в образовательных целях) -я просто не знала что углавая мера может индуцировать метрику

и как такую меру можно было бы определить на множестве?

[Pi]

Лиля в сообщении #207463 писал(а):

а как можно из угловой меры вывести метрику? (мне просто интересно в образовательных целях) -я просто не знала что углавая мера может индуцировать метрику Rolling Eyes

Это легко, например, широко известные бельтрамиевы координаты.

Или например нам известно что декартовы координаты основываются на прямых оротогональных линиях. (одна точка, n-линий)
Но совсем не известны дуальные к ним. Основанные на точках - симплектические. (n+1 точек).
В двухмерном пространстве это три точки - треугольник, понятно что их углы однозначно определяют метрику. И любую точку плоскости можно вычислить по ее углам. То есть можно однозначно переходить от декартовых к симплектическим.
Причем симплектические не имею никакой бесконечности значений, диапозон изменений $[0,2\pi)$. И можно сказать что они содержат в некотром смысле "больше" точек.

Лиля в сообщении #207463 писал(а):

и как такую меру можно было бы определить на множестве? Rolling Eyes
_

Любую.

[ewert]

Ну хоть какую-нибудь угловую меру где-нибудь определите. Без использования расстояния, естественно (ибо оно потом будет выводиться из углов, якобы).

[shwedka]

Pi в сообщении #207430 писал(а):

То скалярное произведение что выражается через метрику, то и будет соответствовать.

Вы продолжаете радовать невежеством. Известно ли Вам, что не всякая метрика порождает скалярное произведение?

Pi в сообщении #207474 писал(а):

В двухмерном пространстве это три точки - треугольник, понятно что их углы однозначно определяют метрику. И любую точку плоскости можно вычислить по ее углам.

Гениально сказано. Значит, у точки есть углы. Если в микроскоп рассмотреть??

Pi в сообщении #207474 писал(а):

Но совсем не известны дуальные к ним. Основанные на точках - симплектические.

Действительно, неизвестны. В литературе найти не удалось. Может ссылочку дадите? или Вы единственный, кому эти координаты известны?

Pi в сообщении #207155 писал(а):

Любая книга по теории множеств. Конечно мы сдесь расматриваем только пространства конечных размерностей, о других речи не шло.

Интересно, как это в терии множеств размерность Вы определяете?

Pi в сообщении #207403 писал(а):

А в гиперболической геометрии Римана

Такого не бывает. Ваше изобретение.

Pi в сообщении #207403 писал(а):

Определение угла данное в проективной геометрии подходит к любому метрическому пространству. То есть достаточно задать метрику,

Я Вам задаю метрику на плоскости. $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$
определите угол
l!!

Pi в сообщении #207403 писал(а):

порождает мнящих о себе черт знает что самодуров, которые ничего не зная думают что все знают и всегда правы, общаются совершенно нестандартным языком запутывая всех и не понимая ничего.

О ком бы это?
И не надо песен, что Вы хотели на самом деле что-то другое сказать. Сказать, что Вы хотели, никто Вам не мешал.

[AD]

shwedka в сообщении #207500 писал(а):

Интересно, как это в терии множеств размерность Вы определяете?

Ну тут хотя бы понятно, что имелось в виду, если полистать и повыслеживать. Ну то есть имеется в виду, что чтобы понять, что $\mathbb{R}^n$ равномощно $\mathbb{R}$, много ума не надо. По остальным пунктам, думаю, без услуг опытного телепата не обойтись.

shwedka в сообщении #207500 писал(а):

О ком бы это?

Да есть одна гипотеза ...

[bot]

geomath писал(а):

В случае действительной прямой $X$ "дуга" $L$ будет состоять всего из одной точки или из двух: $x = a \pm 1$. Как тогда по ней интегрировать?

Если Вы про одномерное пространство, то кому там нужен угол?
В определении, которое я использовал сказано "часть плоскости ..."
Впрочем есть тут проблема с таким определением даже в школе. Как быть с развёрнутым углом? В школе можно поступить просто - указать любую точку единичной окружности, не лежащую на взаимно противоположных лучах и считать длину дуги, проходящей через эту точку, а можно и просто положить по определению такой угол равным $\pi$. В случае произвольного нормированного пространства так не получится поскольку длина окружности вообще говоря будет зависеть от выбора двумерной плоскости, проходящей через центр единичной сферы.
К примеру, если в 3-мерном пространстве взять норму $\max\{\sqrt{x^2+y^2}, \, |z| \}$, то единичной сферой по этой норме будет в обычной норме цилиндр радиуса 1 и высотой 2. Среди сечений этой единичной сферы плоскостями, проходящими через центр будут получаться окружности с разными длинами - от $2\pi$ до $8$.

Глубоко не задумывался, но возможны также проблемы и с существованием криволинейного интеграла, который я рассматривал.

[Pi]

shwedka писал(а):

Pi в сообщении #207430 писал(а):

То скалярное произведение что выражается через метрику, то и будет соответствовать.

Вы продолжаете радовать невежеством. Известно ли Вам, что не всякая метрика порождает скалярное произведение?

Ну вы вааащеее . А то я не знаяю.
А где логика? Где в этой фразе есть утверждение что всякое скалярное произведение выражается через метрику! Вы домысливаете то что я и не думал говорить. А из моего текста видно что я и не связываю скалярное произведение с метрикой напрямую. Я как раз обратное и утверждаю.
Вот что самое ужасное - читают одну часть фразы и игнарируют другие. И смысл сказанного в беседе полностью искажается. Я уже говорил это другому участнику...

shwedka писал(а):

Pi в сообщении #207474 писал(а):

В двухмерном пространстве это три точки - треугольник, понятно что их углы однозначно определяют метрику. И любую точку плоскости можно вычислить по ее углам.

Гениально сказано. Значит, у точки есть углы. Если в микроскоп рассмотреть??

А вы что не знаете что угол в точке можно определить задав две другие точки?

shwedka писал(а):

Pi в сообщении #207474 писал(а):

Но совсем не известны дуальные к ним. Основанные на точках - симплектические.

Действительно, неизвестны. В литературе найти не удалось. Может ссылочку дадите?

Частный случай это всем хорошо известная триангуляция. Три известные точки и координаты определяются по углам. Это всем хорошо известный GSM. Уж можно было бы вспомнить...

shwedka писал(а):

Pi в сообщении #207155 писал(а):

Любая книга по теории множеств. Конечно мы сдесь расматриваем только пространства конечных размерностей, о других речи не шло.

Интересно, как это в терии множеств размерность Вы определяете?

Еще раз повторю, нехорошо вырывать фразу из контекста беседы и после этого строить непонимание. Там же история беседы есть. Так всегда - кто в беседе - тому понятно, а тот кто читает куски, тот вообщето на непонимание ответов и уточнений не имеет права ссылаться. Обязан прочитать всю беседу, или смириться.

shwedka писал(а):

Pi в сообщении #207403 писал(а):

Определение угла данное в проективной геометрии подходит к любому метрическому пространству. То есть достаточно задать метрику,

Я Вам задаю метрику на плоскости. $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$
определите угол

Это легко, надо посчитать длину окружности в этой метрике. То есть взять вещественный интеграл по контуру $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| =R.$. Любая доля от него и будет угол.

bot в сообщении #207644 писал(а):

Если Вы про одномерное пространство, то кому там нужен угол?
В определении, которое я использовал сказано "часть плоскости ..."

Вообще по определению
скаляр - нульмерный объект,
расстояние - одномерный объект,
площадь - двумерный объект,
угол - двумерный объект,
объем - трехмерный объект,
можно определить объекты более высоких измерений, например, 3-угол, суперупуперуголобем и тд..
Ведь что тако эти объекты - это меры в самом широком смысле по формуле меры (Хаара)
$\mu(T(x))=\mu(x)$
где T(x) некотрое преобразование в вашем пространстве. Инвариант \mu ) это и есть вашь объект.

[Лиля]

Pi в сообщении #207474 писал(а):

Лиля в сообщении #207463 писал(а):
и как такую меру можно было бы определить на множестве? Rolling Eyes
_

Любую.

вы видимо не верно прочитали мой вопрос -поэтому вопрос остаеться

[Pi]

Я не понял вопроса.
Но на множестве можно определить чего угодно. Берете любую "модель" пространства и "накладываете" ее на это множество. Ведь множество вообще не имеет структуры, если не сказанно обратное и вы что то уже не задали на нем.

[shwedka]

Pi в сообщении #207691 писал(а):

Это легко, надо посчитать длину окружности в этой метрике. То есть взять вещественный интеграл по контуру $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| =R.$. Любая доля от него и будет угол.

вот и покажите, как считать

[Лиля]

Pi в сообщении #207711 писал(а):

Берете любую "модель" пространства и "накладываете" ее на это множество.

я хочу просто построить пространство из множества -и хочу иметь меру угла, такую, что бы можно было доказать что такое пространство где есть эта мера обязательно метрическое -я не хочу брать готовые пространства поскольку это может быть частным случаем

[shwedka]

Pi в сообщении #207691 писал(а):

Еще раз повторю, нехорошо вырывать фразу из контекста беседы и после этого строить непонимание. Там же история беседы есть. Так всегда - кто в беседе - тому понятно, а тот кто читает куски, тот вообщето на непонимание ответов и уточнений не имеет права ссылаться. Обязан прочитать всю беседу, или смириться.

Прочитала. Определения размерности пространства в теории множеств у Вас не дано. Обманываете.
укажите, в какой книге по ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ дано определение размерности, которым Вы пользуетесь

[Brukvalub]

Вот как раз тут уместно вспомнить к/ф. "Старик Хоттабыч" с рассказом Хоттабыча об Индии (полный текст см. http://books.rusf.ru/unzip/add-on/xussr_l/laginl01.htm?2/26 ):
" - Индия, о высокочтимый мой учитель, находится почти на самом краю земного диска и отделена от этого края безлюдными и неизведанными пустынями, ибо на восток от нее не живут ни звери, ни птицы. Индия - очень богатая страна, и богата она золотом, которое там не копают из земли,как в других странах, а неустанно, день и ночь, добывают особые, золотоносные муравьи, каждый из которых величиной почти с собаку. Они роют себе жилища под землею и трижды в сутки выносят оттуда на поверхность золотой песок и самородки и складывают в большие кучи. Но горе тем индийцам, которые без должной сноровки попытаются похитить это золото! Муравьи пускаются за ними в погоню, и, настигнув, убивают на месте. С севера и запада Индия граничит со страной, где проживают плешивые люди. И мужчины и женщины, и взрослые и дети - все плешивые в этой стране, и питаются эти удивительные люди сырой рыбой и древесными шишками. А еще ближе к ним лежит страна, в которой нельзя ни смотреть вперед, ни пройти, вследствие того, что. там в неисчислимом множестве рассыпаны перья.
Перьями заполнены там воздух и земля: они-то и мешают видеть..."
Ничего не напоминает?