Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[Pi]

Xaositect в сообщении #207196 писал(а):

изолированность к порядковым типам отношения не имеет.

Изолированность имеет прямое отношение к порядку (про топологию никто и не говорит.)

Ибо что такое изолированность?
Что для точки b, есть точка а, токая что a<b, но нет точки с, такой что a<c<b. Вот такая точка b и называется изолированной (слева). Точка a изолированна справа. Ну а несобственная точка изолированна с обоих концов.

Xaositect в сообщении #207196 писал(а):

Мы можем $\mathbb{R}$ упорядочить как стандартно,

Pi в сообщении #207192 писал(а):

В множествах никто не обозначает порядковый тип, это просто оговаривают словами.

Я не зря подчеркнул что это не всегда обозначается в обозначении множества (ибо оно отражает мощность в первую очередь, а уже все остальное потом) и поэтому не понятно из обозночений и оговаривается словами.

[Xaositect]

Pi в сообщении #207203 писал(а):

Что для точки b, есть точка а, токая что a<b, но нет точки с, такой что a<c<b. Вот такая точка b и называется изолированной (слева). Точка a изолированна справа. Ну а несобственная точка изолированна с обоих концов.

Тогда точка $\infty$ в $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, очевидно, не изолирована слева.

[Pi]

Xaositect в сообщении #207209 писал(а):

$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$

У классиков, Хаусдорфа, Александрова и др. Такое обозначение обозначает именно несобственную точку. И сдесь не надо спорить. Потому-что, неизолированные собственные точки \infty и так содержатся в $\mathbb{R}$, ибо оно бесконечное.
А изолированна она потомучто из этого обозначения следует что $\infty-x=\infty$. Потому-что, по классике, такое обозначение эквивалентно $(a,b)\cup\{c,d,e,f\}$, где первое множество есть интервал, а второе множество есть счетное перичесление (фигурные скобки).
Я не встречал такого, но если вы хотите выделить что оно собственное то надо было обозначить как то так $\mathbb{R}\cup\left[\infty,\infty\right]$, или лучше оговорить словами.
А вы хотите чтоб все понимали ваш личный взгляд на вещи телепатически.
Я придерживаюсь стандартных обозначений, но всегда уточняю чтоб небыло путаницы, потому-что многие вещи не имеют обозначений или они не полны чтоб их понимать всегда правильно.

Xaositect в сообщении #207196 писал(а):

Мы можем $\mathbb{R}$ упорядочить как стандартно, по типу ... $\omega^\omega$

Этот тип не является типом действительных чисел, ибо не имеет мощность континиума, а является типом счетного множества (неким типом множества рациональных чисел ).

[Xaositect]

Pi в сообщении #207384 писал(а):

Этот тип не является типом действительных чисел, ибо не имеет мощность континиума, а является типом счетного множества (неким типом множества рациональных чисел ).

Да, здесь я ошибся. Там должно быть $\omega_1$.

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

Pi в сообщении #207384 писал(а):

Я не встречал такого, но если вы хотите выделить что оно собственное то надо было обозначить как то так $\mathbb{R}\cup\left[\infty,\infty\right]$, или лучше оговорить словами.
А вы хотите чтоб все понимали ваш личный взгляд на вещи телепатически.

Я оговорил

Xaositect в сообщении #206818 писал(а):

Есть определение сложения порядковых типов, и согласно этому определению, тип $\lambda+1$ имеет упорядоченное множество, изоморфное множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, где действительные числа упорядочены стандартно, а $\infty$ больше их всех.

А о том, что $\mathbb{R}$ уже включает $\infty$ я не знал, для меня это обозначение множества действительных чисел.

[Pi]

Xaositect в сообщении #207395 писал(а):

Xaositect в сообщении #206818 писал(а):
Есть определение сложения порядковых типов, и согласно этому определению, тип $\lambda+1$ имеет упорядоченное множество, изоморфное множеству $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, где действительные числа упорядочены стандартно, а $\infty$ больше их всех.

А вот такого определения нет, это вы его ввели своей волей.
Покажите мне источник?

[Xaositect]

Pi в сообщении #207405 писал(а):

А вот такого определения нет, это вы его ввели своей волей.
Покажите мне источник?

Хаусдорф, теория множеств, параграф 10:

Цитата:

Пусть $A$, $B$ - упорядоченные множества без общих элементов. Тогда $S = A+B$ обозначает сумму этих множеств, упорядоченную следующим образом: порядок элементов $a\in A$ относительно друг друга, так же как и порядок элементов $b\in B$, сохраняется, а все элементы $a$ считаются стоящими впереди всех $b$ ($a<b$).

И далее

Цитата:

Сумма типов $\alpha+\beta$ есть тип множества $A+B$, где $A$ и $B$ суть два любых множества без общих элементов, принадлежащих к типам $\alpha$ и $\beta$

[RIP]

Pi в сообщении #207384 писал(а):

Xaositect в сообщении #207196 писал(а):
Мы можем $\mathbb{R}$ упорядочить как стандартно, по типу ... $\omega^\omega$

Этот тип не является типом действительных чисел, ибо не имеет мощность континиума, а является типом счетного множества (неким типом множества рациональных чисел ).

Xaositect в сообщении #207395 писал(а):

Да, здесь я ошибся. Там должно быть $\omega_1$.

Сколько людей, столько мнений. А я всегда считал, что $\omega^\omega$ континуально.

[Xaositect]

RIP в сообщении #207526 писал(а):

Сколько людей, столько мнений. А я всегда считал, что $\omega^\omega$ континуально.

$\omega^\omega$ - это порядковый тип множества конечных последовательностей натуральных чисел, упорядоченного лексикографически.

[RIP]

Мда, виноват. Перепутал с кардиналами.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

$\omega^\omega$ - это порядковый тип множества конечных последовательностей натуральных чисел, упорядоченного лексикографически.

Это неверно.

$\omega^\omega$ --- ординал, то бишь вполне упорядоченное множество, в то время как лексикографическое упорядочение конечных последовательностей содержит бесконечную убывающую последовательность

$$ \langle 1 \rangle, \langle 0,1 \rangle, \langle 0,0,1 \rangle, \langle 0,0,0,1 \rangle, \ldots $$

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #207573 писал(а):

Это неверно.

Действительно, что-то я вчера дал маху.

[Pi]

Xaositect в сообщении #207409 писал(а):

И далее

У Хаусдорфа нет обозначения $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$. Все дело в том что совсем не понятно какой тип имеет $\{\infty\}$. Как мы узнаем что скществует какойто порядковый тип по умолчанию - по цифрам. А в $\infty$ нет цифр.
Сама эта $\infty$ может иметь любой тип $1,1^*,\omega$, или проективную бесконечность - она также обозначается!! Предпологать что запись в фигурных скобках всегда имеет тип n неверно, вот какой порядковый тип у множества {огурец,помидор,картофель} ?

Я готов согласиться с вами что это одна из естественных трактовок, но она вызывает разночтения - 30% процентов людей прочтут как вы, 30% процентов людей прочтут как я - альтернативно, 30% процентов людей прочтут как я - что можно и так и так. Я не зря подчеркнул

Pi в сообщении #206981 писал(а):

если вы подразумеваете что в нем нет ..., то есть точка $\infty$ изолированна (как я понял из вашего текста)

Поэтому это обозначение многозначно и никогда не используется.
Но я вспомнил, есть однозначное обозначение используюмое во всей математической литературе! Вы его можете встретить где угодно.

$\mathbb{R}(- \infty,\infty]$ - оно однозначно говорит об типе $\lambda+1$!!! Эту собственную бесконечность можно обознаить в цифрах как ....(9)9,(9)..
А гораздо более редкое и всречающиеся только в специальных случаях (например, у Александрова) $\mathbb{R}^*$ - оно однозначно говорит об типе $\lambda+1^*$ с несобственной бесконечностью. Этот тип используется в проективной геометрии и в проетивных вещественных числах. Поэтому эта бесконечность часто называется проективной (особенно если она не содержит знаков вообще).

[Xaositect]

Pi в сообщении #207705 писал(а):

У Хаусдорфа нет обозначения $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$. Все дело в том что совсем не понятно какой тип имеет $\{\infty\}$. Как мы узнаем что скществует какойто порядковый тип по умолчанию - по цифрам. А в $\infty$ нет цифр.

$\{\infty\}$ - это множество из одного элемента. Оно может быть упорядочено единственным образом - по ординалу 1

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Впрочем, пожалуй я согласен, что $\infty$ было плохим обозначением. Мне хотелось отразить, что этот элемент больше всех действительных чисел.

[Pi]

Xaositect в сообщении #207710 писал(а):

$\{\infty\}$ - это множество из одного элемента.

Да кто сказал? Я могу понимать под ним любое другое множество. Например, {0..-1}, {огурец,помидор,картофель}, любое бесконечное множество.

Если бы не было текста, что описывает ваше обозначение, я бы тоже наверное пришел к ваводу что это скорее всего $\lambda+1$. Но текст скорее запутал, а обозночение допускало другую трактовку. Я не зря написал слово "если".

Все просто, надо пользоваться общепринятыми обозначениями понятными абсолютно всем и не допускающих альтернативных трактовок. Тут помоему спорить нечего.

Можно согласиться на ничью.

[AD]

Pi в сообщении #207721 писал(а):

{огурец,помидор,картофель}

Xaositect в сообщении #207710 писал(а):

$\{\infty\}$

Для тех, кто в танке, объясняю разницу между этими двумя цитатами. В первой СТОЯТ ЗАПЯТЫЕ.
Множество $\{x\}$ одноэлементно ПРИ ЛЮБОМ $x$.
Так что

Pi в сообщении #207721 писал(а):

Все просто, надо пользоваться общепринятыми обозначениями понятными абсолютно всем и не допускающих альтернативных трактовок. Тут помоему спорить нечего.