Определение координат (метод поворотных матриц)

[Алексей К.]

Я, пардон, перепутал, что вокруг чего крутится. Ща перечитал:
мы крутим $OB=(c,d,e)$ вокруг оси $OA=(u_x,u_y,u_z)=(\cos\alpha,\cos\beta,\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta})$ нa угол $\gamma$. Результат --- прямо по той формуле (её, полагаю, Вы легко нашли). В формуле также обозначено $c=\cos\gamma$, $s=\sin\gamma$.

Заметьте, что по вашим данным определить координаты оси можно двояко.

Добавлено спустя 15 минут 39 секунд:

Нашёл --- в сообщении #85650 я эту формулу приводил.

[stuk]

Алексей уточните пожалуйста последнею Вашу формулу, наверно после $\cos\alpha, \cos\beta$ нехватает $\cos\gamma$

А куда подставлять $c= \cos\gamma$ и $s=\sin\gamma$

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

О, Вы уже сылку дали, теперь понятно куда подставлять.

И еще почему координаты можно определить двояко?

[Алексей К.]

stuk в сообщении #206940 писал(а):

Отрезок ОА повернут относительно оси OX на угол $\alpha$, и относительно оси OY на угол $\beta$.

Я, поправляя эту фразу, писал(а):

На самом деле Вы, похоже, хотели сказать следующее:
"Отрезок ОА составляет с осью OX угол $\alpha$, и с осью OY --- угол $\beta$".

Угол, который эта ось составляет с осью OZ, не указан. Для него бы подошла традиционно буковка $\gamma$, но Вы уже её (неудачно) заняли под угол поворота. Поэтому в той формуле написано

$OA=(u_x,u_y,u_z)=(\cos\alpha,\cos\beta,\underbrace{\cos(\mbox{\small того самого третьего угла})}_{{}=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta}})$.

Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд:

stuk в сообщении #207396 писал(а):

И еще почему координаты можно определить двояко?

Ну Вы же видите --- я использовал знак плюс-минус и тем самым задал два вектора. Оба вектора удовлетворяют Вашему требованию --- составляют нужные углы с осями OX, OY.

[GAA]

stuk писал(а):

И теперь вспомнил про коммутативность матриц и хочу уточнить не напутал ли я чего.

Привожу подробности.
1. Переход в систему координат с осью $OZ’$, сонаправленной с вектором $OA$, разобьем на два шага.
1.1. Перейдем в систему координат, повернутую на угол $\phi$ вокруг оси $OZ$ так, чтобы оси $OZ$, $OX’$ (в которую перейдет ось $OX$) и вектор $OA$ стали лежать в одной плоскости; матрица перехода к новым координатам от старых координат
$R_{11} = \left( \begin{array}{ccc} \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.
1.2. На следующем шаге перейдем в систему координат, повернутую на угол $\psi$ вокруг оси $OY’$ так, чтобы оси $OZ’’$ и вектор $OA$ стали сонаправлены; матрица перехода к новым координатам
$R_{12} = \left( \begin{array}{ccc} \cos \psi & 0 & -\sin \psi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \psi & 0 & \cos \psi \end{array} \right)$.
3. Координаты точки (в системе с осью $OZ’’$ сонаправленной с вектором $OA$) после поворота вокруг оси $OA$ на угол $\theta$ (как обозначен угол поворота в Википедии) можно получит при помощи матрицы
$R_2 = \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.
4. Окончательно, координаты в исходной системе координат находятся при помощи матрицы $R=R_{11}^{-1} R_{12}^{-1} R_2 R_{12} R_{11}$, которая слева умножается на вектор $OB$.

Спасибо, Алексей К., за ссылку на матрицу поворота. При нескольких направлениях оси вращения, сравнил свой результат с результатом, полученным при помощи указанной Вами матрицы поворота . Результаты совпадают.

Добавлено спустя 12 минут 40 секунд:

Сообщение Тамара и ответ TOTAL на это сообщение перенесены в отдельную тему

[stuk]

GAA спасибо за такой обширный ответ, я использовал немного другие матрицы, но умножал в том же порядке. Если это возможно то хотел бы сравнить Ваши и свои результаты.
Чтобы не писать эти бесконечные формулы в свои формулы подставил такие данные:
$X_B=6,537 $____________$\alpha=8^o$
$Y_B=73,571 $___________$\beta=5^o$
$Z_B=-13,024 $________$\gamma=28,72^o$

В итоге расчетов получил такие координаты точки $B$
$X’_B=41,0855 $
$Y’_B=61,3789 $
$Z’_B=-13,024 $

Алексей К. в сообщении #206991 писал(а):

Ваша фраза засталяет задуматься, как там чего поворачивали, из какого начального положения, и т.п. На самом деле Вы, похоже, хотели сказать следующее: "Отрезок ОА составляет с осью OX угол $\alpha$, и с осью OY - угол $\beta$".

Это кусок задачи из методичке по технической дисциплине, ну и понятно задание составляли люди скажем так с техническим складом мышления. И в методичке сказано что именно поворачиваем относительно той или иной оси, думаю Вы правы что так должно было бы сформулировано, ну надеюсь что так да эдак все равно правильно, ну или по крайней мере имеется ввиду одно и тоже.
Это все меня натолкнуло на некоторые мысли относительно моих вопросов в самом начале этой темы. Постараюсь их изложить когда окончательно разберусь со всеми этими матрицами.

Алексей К. в сообщении #207406 писал(а):

Угол, который эта ось составляет с осью OZ, не указан. Для него бы подошла традиционно буковка , но Вы уже её (неудачно) заняли под угол поворота.

В методе угол между прямой $OA$ и осью $OZ$ называется комбинированным и он равен

$\mu = \arctg \sqrt{\tg^2\alpha + \tg^2\beta}$

И что то честно говоря получаются совсем разные результаты по этой формуле и формуле предложенной вами Алексей К. если я конечно правильно понял Вашу мысль.

Также если я правильно понял то $u_x, u_y, u_z$ это направляющие косинусы отрезка $OA$. Если так то может лучше их брать из полученной матрицы поворота для нахождения координат точки А, которая была получена в самом начале темы

$\begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & -\sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\beta & 0 & \cos\beta \\ \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \sin\alpha & -\sin\beta cos\alpha \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\beta & \cos\beta \sin\alpha & \cos\beta \cos\alpha \\ \end{pmatrix}$

А в виду того что начальные координаты точки $A$ равны $(0, 0, l)$
То в итоге имеем такие координаты точки $A$

$X_A = -l\cdot \sin\beta \cdot \cos\alpha $
$Y_A = -l\cdot \sin\alpha $
$Z_A = l\cdot \cos\beta \cdot \cos\alpha $

А направляющие косинусы отрезка $OA$ тогда равны

$u_x = -\sin\beta \cdot \cos\alpha $
$u_y = -\sin\alpha $
$u_z = \cos\beta \cdot \cos\alpha $

А эти уже направляющее косинусы подставлять в одну из формул ссылки на которые дал Алексей К.

Поправте меня если я чего не так понял.

[GAA]

0. Перечитал Ваше сообщение, в котором описываются углы $\alpha$ и $\beta$. Если исходить из того, что матрица поворота 1 верно отражает условие задачи, то, по принятой в моём окружении терминологии, угол $\alpha$ — это угол поворота вокруг оси $OX$, т.е. первоначально я понял условие неправильно.
1. Если углы $\alpha$ и $\beta$ — это углы вращения вокруг оси $OX$ и вокруг оси $OY’$ (в которую переходит ось $OY$ при вращении вокруг оси $OX$), то направляющие косинусы $OA$ вычисляются по указанным Вами выражениям. И «эти уже направляющее косинусы подставлять в одну из формул ссылки на которые дал Алексей К.»

Добавлено спустя 2 часа 49 минут 37 секунд:

2. К сожалению, формула на которую Вы ссылаетесь, $\mu = \arctg \sqrt{\tg^2 \alpha + \tg^2 \beta}$, не согласуется и с таким предположением об углах $\alpha$ и $\beta$. Думаю, лучше уточнить условие задания у своего преподавателя.

[stuk]

Перепроверил результаты умножений матриц в маткаде, по двум схемам GAA и Алексея К. получил почти идентичные результаты, разбежности в сотых долях, ну в принципе такой результат меня полностью устраивает. Но затем для интереса решил разобраться из за чего все таки разбежности, и начал перетасовывать матрицы и оказалось что если расположить матрицы поворота без учета их коммутативности (т.е. сначала матрица поворота на угол $\alpha$ а затем матрица поворота на угол $\beta$) то получим полностью идентичный результат с матрицей из Викпедии (сылку на которую дал Алексей).

Это что же получается что господа из Викпедии ошиблись , или не так уж и важна и нужна эта коммутативность матриц , как мне объясняли в начале.

Добавлено спустя 16 минут 41 секунду:

GAA в сообщении #207632 писал(а):

К сожалению, формула на которую Вы ссылаетесь, $\mu = \arctg \sqrt{\tg^2 \alpha + \tg^2 \beta}$, не согласуется и с таким предположением об углах $\alpha$ и $\beta$. Думаю, лучше уточнить условие задания у своего преподавателя.

.
Возможно эта формула и не совсем точно отображает угол между прямой $OA$ и осью $OZ$. Но этот угол нигде в моих расчетах не применяется, так что наверно ничего страшного.

Хотя интересно в чем не согласованность, может если я покажу в методичке ошибку и как ее исправит глядишь и зачет автоматом получу

[Алексей К.]

По моей гипотезе было

$$u_z=\cos\angle AOZ=\cos\mu=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta}.$$

Вы утверждаете, что речь шла именно о двух поворотах (кстати, второй поворот действительно выполнялся вокруг сразу зафиксированной оси $OY$ или вокруг новой оси $OY'$?), и тогда действительно

$$u_z=\cos\angle AOZ=\cos\mu=\cos\alpha\cos\beta}.$$

Ни один из этих вариантов не согласуется с приведённой Вами формулой $\tg^2\mu=\tg^2\alpha+\tg^2\beta$.

[GAA]

Добавлю. На момент написания этого сообщения матрица поворота в Википедии имеет вид
$R = \left[ \begin{array}{ccc} u_x^2 + (1-u_x^2)c & u_x u_y (1-c) - u_z s & u_x u_z (1-c) + u_y s \\ u_x u_y (1-c) + u_z s & u_y^2 + (1-u_y^2) c & u_y u_z (1-c) - u_x s \\ u_x u_z (1-c) - u_y s & u_y u_z (1-c) + u_x s & u_z^2 + (1-u_z^2)c \end{array} \right]$,
где $u = (u_x, u_y, u_z)$ — единичный вектор, $c = \cos \theta$, $s = \sin \theta$.
Вектор $u$ связан с описанными мною углами $\phi$ и $\psi$ так:
$u_x = \sin \psi \cos \phi$, $u_y = \sin \psi \sin \phi$, $u_z = \cos \psi$.

Подставив эти выражения в матрицу из Википедии, убеждаемся, что матрица, описанная мною выше, и матрица из Википедии совпадают. Поэтому, Вы, stuk, что-то не так делали, если результаты вычислений отличаются.

[Алексей К.]

Пока я пил чай с гостями, GAA уже отметил про $\tg\mu$.

stuk в сообщении #207688 писал(а):

Возможно эта формула и не совсем точно отображает угол между прямой и осью.

Так не бывает. В такого рода задачах пишутся "совсем точные" формулы, в приближённых нет нужды.
Она явно отражает наличие некого взаимонепонимания.

stuk в сообщении #207688 писал(а):

Но этот угол нигде в моих расчетах не применяется, так что наверно ничего страшного.

Применяется в виде $\cos\mu$.

Добавлено спустя 25 минут 23 секунды:

stuk в сообщении #207688 писал(а):

Хотя интересно в чем не согласованность, может если я покажу в методичке ошибку и как ее исправит глядишь и зачет автоматом получу

У Вас есть варианты для $\cos\mu$. Из них можно посмотреть, чему равен $\tg^2\mu$.

Более того, при правильном подходе к задаче это следовало сразу проделать (вот как у нас с GAA эта мысль одновременно возникла). Должен признать, что для меня конечной целью решения некой задачи может быть что-то вроде правильно построить дорогу, оптимально ориентировать ось цилиндра, проверить качество изготовления турбины двигателя... Список огромный, но мне трудно думать над задачей, конечной целью которой является сдача зачёта (ну, там ведь можно чего-то не замечать, где-то пыль в глаза пустить, итп). Хотя, готов поверить, что при нынешней и прошлой системе образования можно придумать и оправдать ситуацию, когда задачу сдачи зачёта можно рассматривать как нечто самоценное и созидательное...

Пардон за лирическое отступление --- это явно не то, чего от меня ждут.

Уже раньше звучал совет --- работать с бóльшими углами порядка $35^\circ-65^\circ$. Хотя бы в режиме исследования и самопроверки. Тогда различия в расчётах и даже рисунках более наглядны.

[stuk]

Алексей К. писал(а):

Вы утверждаете, что речь шла именно о двух поворотах (кстати, второй поворот действительно выполнялся вокруг сразу зафиксированной оси $OY$ или вокруг новой оси $OY'$?), и тогда действительно

$$u_z=\cos\angle AOZ=\cos\mu=\cos\alpha\cos\beta}.$$

Ни один из этих вариантов не согласуется с приведённой Вами формулой $\tg^2\mu=\tg^2\alpha+\tg^2\beta$.

Честно говоря затрудняюсь сказать вокруг какой именно оси поворачиваем. Но могу привести такой пример (может конечно и глупый, но по другому объяснить не могу):
1. берем карандаш и ставим на стол перед собой ($OA$ совпадает с $OZ$)
2. поворачиваем карандаш вправо (поворот $OA$ на угол $\alpha$)
3. поворачиваем карандаш от себя вперед (поворот $OA$ на угол $\beta$).

Думаю что подходит именно второй вариант т.е.

$$u_z=\cos\angle AOZ=\cos\mu=\cos\alpha\cos\beta}.$$

GAA что то я совсем запутался с Вашими матрицами, а как описанные Вами углы $\phi$ и $\psi$ связан с углами $\alpha$ и $\beta$ ?

[GAA]

stuk писал(а):

GAA ... как описанные Вами углы $\phi$ и $\psi$ связан с углами $\alpha$ и $\beta$ ?

Считаем, что ось вращения не лежит на оси $OZ$, а, следовательно, $u_x^2 + u_y^2 \not = 0$.
$\psi = \arccos u_z$,
$\phi = \left\{\begin{array}{l} \arccos \left( \frac {u_x} {\sqrt {u_x^2 + u_y^2}}\right), \quad u_y \ge 0, \\ 2\pi - \arccos \left( \frac {u_x} {\sqrt {u_x^2 + u_y^2}}\right), \quad u_y < 0. \end{array} \right$

Зависимость $u_x$, $u_y$, $u_z$ от углов $\alpha$ и $\beta$ обсуждалась выше.

[stuk]

С матрицами поворота более менее разобрался.

Алексей К. в сообщении #206991 писал(а):

Ваша фраза засталяет задуматься, как там чего поворачивали, из какого начального положения, и т.п. На самом деле Вы, похоже, хотели сказать следующее: "Отрезок ОА составляет с осью OX угол $\alpha$, и с осью OY - угол $\beta$".

Это натолкнуло меня на новые мысли относительно второго моего вопроса в начале этой теме.

stuk в сообщении #189839 писал(а):

Можно ли как то математически обосновать что для дальнейших расчетов при умножении матрицы 2 на матрицу 1 (группа а) значение X будем брать из умножение матрицы 1 на матрицу 2 (группа б).

Согласен что идея бредовая, но вот что интересно.

Очевидно что в следствии того что отрезок $OA$ установлен в пространстве последовательным поворотом относительно оси $OX$ на угол $\alpha$ и поворотом относительно оси $OY$ на угол $\beta$ то проекция $OA$ и оси $OZ$ на плоскости $XOZ$ и $YOZ$ даст углы немного отличающиеся от углов $\beta$ и $\alpha$.
Так например проекция на плоскость $XOZ$ дает нам угол $\beta_1$ равный
$\tg{\beta_1} = \frac{X_A}{Z_A} $
а на плоскость $YOZ$ дает нам угол $\alpha_1$ равный
$\tg{\alpha_1} = \frac{Y_A}{Z_A} $

В соответствии с ранее полученной матрицей поворота отрезка $OA$

$\begin{pmatrix} cos\beta & -sin\beta sin\alpha & -sin\beta cos\alpha \\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\beta & cos\beta sin\alpha & cos\beta cos\alpha \\ \end{pmatrix}$

Координаты точки $A$ равны
$X_A = -l \sin\beta \cdot \cos\alpha $
$Y_A = -l \sin\alpha $
$Z_A = l \cos\beta \cdot \cos\alpha $

Тогда $\tg{\beta_1} = \frac{-\sin\beta \cdot \cos\alpha}{ \cos\beta \cdot \cos\alpha} = -\tg{\beta}$
$\tg{\alpha_1} = \frac{-\sin\alpha}{\cos\beta \cdot \cos\alpha} = -\tg{\alpha} \cdot \cos\beta $

Т.е. получаем что
$|\beta_1| = |-\beta|$ а это мне кажется неверно т.к. проекция даст явно другой угол
$|\alpha_1| = |-\alpha\cdot \cos\beta| $ неверно угол уменьшается, а должен немного увеличиваться как мне кажется.

Получается что метод поворотных матриц дает некоторую погрешность??? Или у меня после всех этих умножений матриц в голове каша и я что то напутал.

[Алексей К.]

stuk писал(а):

Очевидно что в следствии того что отрезок $OA$ установлен в пространстве с двумя углами $\alpha$ и $\beta$

Опять Вы витиевато выражаетесь, и заставляете читателей думать --- что имел в виду автор? Я Вам выше предлагал точную, общепринятую фразу --- составляет такой-то угол с таким-то объектом. Даже если по ней нельзя однозначно определить координаты, понять и проверить сказанное вполне можно.

stuk писал(а):

...то проекция $OA$ и оси $OZ$ на плоскости $XOZ$ и $YOZ$ даст углы немного отличающиеся от углов $\beta$ и $\alpha$.

Может быть и много.

stuk примерно так писал(а):

...Тогда $\tg{\beta_1} = \ldots = \tg{\beta}\quad \Longrightarrow\quad \beta1=\beta$ --- с оговорками можно согласиться (AK).
$\tg{\alpha_1} = \ldots = \tg{\alpha} \cdot \cos\beta \quad \Longrightarrow\quad \alpha_1 = \alpha\cdot \cos\beta $ --- вывод неверный, возможно, опечатка (AK).

stuk писал(а):

Получается что метод поворотных матриц дает некоторую погрешность?

Как я уже писал, обсуждаемые методы абсолютно точны. Ошибки (а не погрешности) возникают от непонимания задачи.

Ещё есть впечатление, что у Вас имеется некая методичка, довольно пространная. И Вы вынуждены приводить из неё кусочки, в своём сокращённом изложении (например, возник вопрос про угол $ZOA$, и Вы привели цитатку про $\mu=\arctg\ldots$). И вот Ваши сокращения местами работают как искажения или потеря информации, и мешают понять, о чём речь. Но это, ясен пень, чисто впечатление-гипотеза, на которой я не настаиваю.

Это я написал лишь о том, что бросается в глаза. В суть Вашего вопроса постараюсь вникнуть, когда будет соответствующая окружающая бытовуха.

Добавлено спустя 19 минут 4 секунды:

stuk писал(а):

Координаты точки $A$ равны
$X_A = -l \sin\beta \cdot \cos\alpha $
$Y_A = -l \sin\alpha $
$Z_A = l \cos\beta \cdot \cos\alpha $

stuk писал(а):

Т.е. получаем что
$\beta_1 = \beta$ а это мне кажется неверно т.к. проекция даст явно другой угол

Ничего удивительного. ТАК ОПРЕДЕЛЁННЫЙ вектор $OA$ НЕ СОСТАВЛЯЕТ с осью $OY$ угол $\beta$ (а составляет угол $\arccos(-\sin\alpha)\not=\beta$). Ну, и случилось так, что какая-то там проекция этого вектора составляет с осью $OY$ угол $\beta$ (может, чего и напутал, но не сильно; бытовуха сейчас такая вокруг).

Добавлено спустя 10 минут 12 секунд:

stuk писал(а):

Тогда $\tg{\beta_1} = \frac{\sin\beta \cdot \cos\alpha}{ \cos\beta \cdot \cos\alpha} = \tg{\beta}$

И со зрением чего-то не так --- там должен быть минус! Не, до завтра...

[stuk]

Алексей К. в сообщении #208481 писал(а):

Опять Вы витиевато выражаетесь, и заставляете читателей думать --- что имел в виду автор? Я Вам выше предлагал точную, общепринятую фразу --- составляет такой-то угол с таким-то объектом.

Каюсь, исправил, как мне кажется. Предложенную вами формулировку опасаюсь применять, так как мне кажется что если уж находим координаты методом поворотных матриц то вполне можем утверждать что прямую $OA$ последовательно поворачиваем относительно оси $OX$ и $OY$ на соответствующие углы $\alpha$ и $\beta$.

Алексей К. в сообщении #208481 писал(а):

Как я уже писал, обсуждаемые методы абсолютно точны. Ошибки (а не погрешности) возникают от непонимания задачи.

Ошибки или недопонимания с моей стороны наверно возникают из за того, что для проверки себя построил в 3D программе (solid work) модель и сравниваю полученные результаты расчетов с данной моделью. И честно говоря еще не один результат с моделью на 100% не совпал, разбежности в лучшем случае в сотые и тысячные. Вот и ломаю голову из за чего разбежности вроде бы мат. методы при расчетах как Вы говорите точные, с другой стороны программа известная применяется для всевозможных расчетов деталей машин т.е. математический аппарат в программе отлажен, проверен и перепровен многими людьми, ну и ошибиться при построении я не мог что проще построить отрезок и повернут на два угла.

stuk примерно так писал(а):

...Тогда $\tg{\beta_1} = \ldots = \tg{\beta}\quad \Longrightarrow\quad \beta1=\beta$ --- с оговорками можно согласиться (AK).
$\tg{\alpha_1} = \ldots = \tg{\alpha} \cdot \cos\beta \quad \Longrightarrow\quad \alpha_1 = \alpha\cdot \cos\beta $ --- вывод неверный, возможно, опечатка (AK).

Может так вернее
$|\alpha_1|\approx |-\alpha\cdot \cos\beta| $
Просто хотел показать этим выражением что вследствии умножения на $\cos$ величина угла уменьшиться. А по моим представлениям он явно должен увеличиться.

Алексей К. в сообщении #208481 писал(а):

Ничего удивительного. ТАК ОПРЕДЕЛЁННЫЙ вектор $OA$ НЕ СОСТАВЛЯЕТ с осью $OY$ угол $\beta$ (а составляет угол $\arccos(-\sin\alpha)\not=\beta$). Ну, и случилось так, что какая-то там проекция этого вектора составляет с осью $OY$ угол $\beta$ (может, чего и напутал, но не сильно; бытовуха сейчас такая вокруг).

Так я вроде нигде и не утверждал $OA$ составляет с осью $OY$ угол $\beta$

Алексей К. в сообщении #208481 писал(а):

И со зрением чего-то не так --- там должен быть минус! Не, до завтра...

Да минус пропустил, исправил. Вот как по мне так опять странность, что за минус и как его понимать, наверно в данном случае можно рассматривать значение углов по модулю, поэтому исправляюю и ставлю везде модуля.

Добавлено спустя 2 часа 57 минут 47 секунд:

С проекцией угла $\alpha$ я лопухнулся, $\cos\beta $ должен быть под дробью т.е.
$\tg{\alpha_1} = \frac{-\tg\alpha}{\cos\beta}$

C проекцией угла $\alpha$ получается все правильно, а вот как быть с проекцией угла $\beta $?