Определение координат (метод поворотных матриц)

[stuk]

Здравствуйте, помогите разобраться с такой задаче.


Дан отрезок ОА длиной равной l. Координаты точки О (0,0,0) точки А (0,0,l) рис.а. Сначала отрезок ОА поворачивают относительно оси ОХ на угол $\alpha$ (рис. б), затем отрезок ОА поворачивают относительно оси ОY на угол $\beta$ (рис. в).
Необходимо определить координаты точки А.

Само решение как я полагаю такое, составляем матрицу поворота:
1. относительно оси ОХ на угол $\alpha$ (рис. б)
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix}$
2. относительно оси ОY на угол $\beta$ (рис. в)
$\begin{pmatrix} cos\beta & 0 & -sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ sin\beta & 0 & \cos\beta \\ \end{pmatrix}$
Затем, мы можем или умножить матрицу 1 на матрицу 2
$\begin{pmatrix} cos\beta & 0 & -sin\beta \\ -sin\alpha \cdot sin\beta & cos\alpha & -sin\alpha \cdot cos\beta \\ cos\alpha \cdot sin\beta & sin\alpha & cos\alpha \cdot cos\beta \\ \end{pmatrix}$

или умножить матрицу 2 на матрицу 1
$\begin{pmatrix} cos\beta & -sin\beta \cdot sin\alpha & -sin\beta \cdot cos\alpha \\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\beta & cos\beta \cdot sin\alpha & cos\beta \cdot cos\alpha \\ \end{pmatrix}$

Вот тут у меня и возникает вопрос, какой результат умножения матриц является правильным чтобы применить его в дальнейших расчетах.
И почему поворачиваем на одни и те же углы но умножаем в разном порядке получаем разные результаты. С математической точки зрения понятно что умножаем матрицы в разном порядке и получаем разные результаты, но вот с точки зрения физики процесса не понятно углы те же а результаты разные. Может метод поворотных матриц не совсем точен, и координаты точки А можно найти более точным способом, ну или не таким двояким.

[gris]

Здесь недавно обсуждалось, что в трёхмерном пространстве операции поворота не коммутируют
В самом настоящем физическом смысле.
Алгебраически: группа поворотов пространства, размерности больше 2, некоммутативна.
Так что Вам придётся каждый раз определять, какой из поворотов выполняется первым.

[мат-ламер]

Вы учтите, что вектор, на который действуют матрицы, находится справа ( в записи произведения). Далее, слева от него, матрица первого поворота. А слева от них - матрица второго поворота. Так что, надо матрицу второго поворота умножить на матрицу первого поворота.

[stuk]

Спасибо за разъяснения, я понял что надо умножать матрицу 2 на матрицу 1, но я для интереса решил определить координаты точки А и умножением матрицы 1 на 2, и еще графическим способом в чертежной программе Компас (построение в трехмерном пространстве) и получил такие результаты:
а) умножение матрицы 2 на матрицу 1
X: -68.783мм
Y: -55.669мм
Z: 390.089мм

б) умножение матрицы 1 на матрицу 2
X: -69.459мм
Y: -54.823мм
Z: 390.089мм

в) графическим способом
X: -69.4593мм
Y: -55.6692мм
Z: 389.9697мм

Я считаю, что графической программе показываются истинные координаты т. А (также товарищ нарисовал в др. графической программе получил те же координаты), получается что этому методу максимально соответствует значение X из группы б), и значение Y из группы а), а значение Z одинаково для группы а) и группы б).

Можно ли как то математически обосновать что для дальнейших расчетов при умножении матрицы 2 на матрицу 1 (группа а) значение X будем брать из умножение матрицы 1 на матрицу 2 (группа б).

[ИСН]

"Возводил 2 в степень 5 - получил 32. Возводил 5 в степень 2 - получил 25.
- А можно я возьму первую цифру от одного числа, а вторую - от другого?"
...вот примерно столько же смысла и в этом.
Если серьёзно, поверните на какие-нибудь заметные углы, а то разницу еле видно.

[Really]

stuk в сообщении #189839 писал(а):

Можно ли как то математически обосновать что для дальнейших расчетов при умножении матрицы 2 на матрицу 1 (группа а) значение X будем брать из умножение матрицы 1 на матрицу 2 (группа б).

Ваши выводы неверны. Повороты некоммутативны. Вот и все. Разная последовательность применения операторов поворота вычисляет вообще говоря разные векторы. Что у них там совпало в частном случае неважно.

stuk в сообщении #189839 писал(а):

Я считаю, что графической программе показываются истинные координаты..

Truth is out there...

[stuk]

ИСН в сообщении #189887 писал(а):

Если серьёзно, поверните на какие-нибудь заметные углы, а то разницу еле видно.

А смысл поворачивать на заметные углы, главное что эта разница есть и как объяснить что координатам полученным графическим методом соответствуют абсцисса из умножения матрицы 1 на матрицу 2 (группа б), а ордината из умножении матрицы 2 на матрицу 1 (группа а). Или это просто совпадение???

Really в сообщении #189960 писал(а):

Truth is out there...

А можно какие то аргументы. Я понимаю, что мои аргументы о том что графически координаты были найдены в двух разных программах и результаты оказались одинаковыми может конечно и не фонтан, но неужели это просто совпадение?

Правильно ли я понимаю что на практике не имеет значение на какой угол $\alpha$ или $\beta$ сначала поворачивают стержень АО в итоге он займет то же положение в пространстве? (Ну а при расчетах понятно что из за некоммутативности поворотов необходимо знать на какой угол сначала поворачивают отрезок.)

[gris]

Нет, на практике тоже имеет значение порядок поворотов.
Это можно увидеть в любой программе трехмерного моделирования, в той же 3d Max...

[stuk]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такую задачу.

Имеется два отрезка ОА и ОВ. Точка О их общее начало и начало координат XYZO. Точка В имеет координаты (c, d, e). Отрезок ОА повернут относительно оси OX на угол $\alpha$, и относительно оси OY на угол $\beta$. Затем отрезок ОВ поворачивают относительно отрезка ОА на угол $\gamma$.
Необходимо определить координаты точки В.

Если бы поворот был относительно оси OZ то понятно что подошла бы такая матрица поворота относительно оси OZ

$ \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Но вот как в этой матрице задействовать углы $\alpha$ и $\beta$ отрезка ОА даже и не представляю.

// Близкие темы соединены. / GAA

[GAA]

Я так понимаю, что $\gamma$ — это угол вращения вокруг отрезка $OA$, а $\alpha$ и $\beta$ — это углы между вектором $OA$ и осями $OX$ и $OY$, соответственно.

Приведу очевидную схему решения.
1. Задайте вторую систему координат $(X'Y'Z')$, в которой ось $OZ’$ будет сонаправлена с вектором $OA$.
2. Найдите координаты точки $B$ в этой системе координат.
3. Найдите координаты точки $B$ (в системе $(X'Y'Z')$) после поворота на угол $\gamma$ вокруг оси $OZ’$.
4. Найдите координаты точки $B$ в исходной системе координат.

При вставке широкого рисунка, в зависимости от разрешения монитора, может нарушиться форматирование страницы. stuk, пожалуйста, разбейте рисунок сообщения Определение координат (метод поворотных матриц) на три рисунка (отдельно a, б, и в).

[stuk]

GAA в сообщении #206964 писал(а):

разбейте рисунок сообщения Определение координат (метод поворотных матриц) на три рисунка (отдельно a, б, и в).

Нема питань сделал.

И спасибо за схему решения, буду пробывать.

[Алексей К.]

Нечаянно испортил сообщение.

[stuk]

Поумножал я эти матрицы и конечная формула получилась не маленькая . И теперь вспомнил про коммутативность матриц и хочу уточнить не напутал ли я чего. Правильно ли я понимаю что матрицы будут расположены в зеркальном отображении от схемы решения предложенной GAA т.е. сначала идет транспонированная матрица $4$ для перехода в основную систему координат т.е $4=2^T$, затем матрица $3$ поворота относительно оси $OZ'$ и в конце матрица $2$ для нахождения координат точки В в дополнительной системе.

P.S. цифры это номера пунктов схемы решения

[Алексей К.]

Мне несколько трудно врубиться в реализацию решения GAA, но Вы можете проверить своё решение с помощью готовой формулы, которую я Вам чуть выше предложил

Алексей К. в сообщении #206991 писал(а):

Возможно, Вам сгодится формула для поворота вокруг произвольной оси.

в которой уже все повороты в правильном порядке учтены.

[stuk]

Алексей а можно по подробней что за с, d, e. А то с английским я не очень дружу и трудно перестроиться с одного метода решения на другой.
u_x, u_y, u_z это радиус вектор точки А?

Добавлено спустя 3 минуты 20 секунд:

Тамара может правильнее будет ваш вопрос расмотреть в отдельной теме Чтоб ни кого не путать.