a>b

[Руст]

Числа a и b удовлетворяют уравнению:
[math]$$a^{1003}=a+1, b^{2006}-b=3a.$$
Доказать, что a>b.

[Руст]

Положительные числа a и b удовлетворяют уравнению:

$$a^{1003}=a+1, b^{2006}-b=3a.$$

Доказать, что a>b.
Сам не проверял, думаю они отличаются после 5 го знака после запятой.

[ИСН]

Что оба числа чуть-чуть больше единицы, понятно.
a^{2006}=a^2+2a+1
a^{2006}-a=a^2+a+1
теперь смотрим сюда:
раз а>1, то a^2+a+1>3a
выходит, a^{2006}-a>b^{2006}-b
а функция эта возрастающая
значит, всё, \qed

[Руст]

Это задача была лёгкой. Несколько усложняю. Вычислить a-b с точностью до 9 знака.

[ИСН]

Там одни нули. Теперь: почему так?
Думаю, надо получить оценку сверху для a, оттуда - для a^2+1-2a, что равно (a^{2006}-a)-(b^{2006}-b), а оттуда, через производную - уже для a-b.

[Capella]

Если это правильное решение, то где показано, что нули стоят имено до 9 знака? Ведь Руст написал-же, что числа a и b ( по непроверенным данным) отличаются уже после 5-го знака, значит 6-ое место после запятой не равно 0.

[ИСН]

Это не решение, а так, приблизительный набросок пути к нему.
На самом-то деле я проверил, что там нули.

[Руст]

Легко оценивается $a-b<\frac{1}{2*1003^3}$. Если оценить с точностью до 12 го знака, то правую часть енадо умножить на ln(2).

[Руст]

Точнее $a-b=\frac{\ln 2 }{4*1003^3}+r,|r|<\frac{1}{1003^4}$

[ИСН]

А, Вы вот так? Красиво.