2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 a>b
Сообщение25.05.2006, 12:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Числа a и b удовлетворяют уравнению:
[math]$$a^{1003}=a+1,
b^{2006}-b=3a.$$
Доказать, что a>b.

 Профиль  
                  
 
 Re: a>b
Сообщение25.05.2006, 13:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Положительные числа a и b удовлетворяют уравнению:
$$a^{1003}=a+1,
b^{2006}-b=3a.$$
Доказать, что a>b.
Сам не проверял, думаю они отличаются после 5 го знака после запятой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Что оба числа чуть-чуть больше единицы, понятно.
a^{2006}=a^2+2a+1
a^{2006}-a=a^2+a+1
теперь смотрим сюда:
раз а>1, то a^2+a+1>3a
выходит, a^{2006}-a>b^{2006}-b
а функция эта возрастающая
значит, всё, \qed

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это задача была лёгкой. Несколько усложняю. Вычислить a-b с точностью до 9 знака.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Там одни нули. Теперь: почему так?
Думаю, надо получить оценку сверху для a, оттуда - для a^2+1-2a, что равно (a^{2006}-a)-(b^{2006}-b), а оттуда, через производную - уже для a-b.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Если это правильное решение, то где показано, что нули стоят имено до 9 знака? Ведь Руст написал-же, что числа a и b ( по непроверенным данным) отличаются уже после 5-го знака, значит 6-ое место после запятой не равно 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Это не решение, а так, приблизительный набросок пути к нему.
На самом-то деле я проверил, что там нули.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Легко оценивается $a-b<\frac{1}{2*1003^3}$. Если оценить с точностью до 12 го знака, то правую часть енадо умножить на ln(2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Точнее $a-b=\frac{\ln 2 }{4*1003^3}+r,|r|<\frac{1}{1003^4}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
А, Вы вот так? Красиво.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group