2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 a>b
Сообщение25.05.2006, 12:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Числа a и b удовлетворяют уравнению:
[math]$$a^{1003}=a+1,
b^{2006}-b=3a.$$
Доказать, что a>b.

 Профиль  
                  
 
 Re: a>b
Сообщение25.05.2006, 13:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Положительные числа a и b удовлетворяют уравнению:
$$a^{1003}=a+1,
b^{2006}-b=3a.$$
Доказать, что a>b.
Сам не проверял, думаю они отличаются после 5 го знака после запятой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что оба числа чуть-чуть больше единицы, понятно.
a^{2006}=a^2+2a+1
a^{2006}-a=a^2+a+1
теперь смотрим сюда:
раз а>1, то a^2+a+1>3a
выходит, a^{2006}-a>b^{2006}-b
а функция эта возрастающая
значит, всё, \qed

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это задача была лёгкой. Несколько усложняю. Вычислить a-b с точностью до 9 знака.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Там одни нули. Теперь: почему так?
Думаю, надо получить оценку сверху для a, оттуда - для a^2+1-2a, что равно (a^{2006}-a)-(b^{2006}-b), а оттуда, через производную - уже для a-b.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Если это правильное решение, то где показано, что нули стоят имено до 9 знака? Ведь Руст написал-же, что числа a и b ( по непроверенным данным) отличаются уже после 5-го знака, значит 6-ое место после запятой не равно 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это не решение, а так, приблизительный набросок пути к нему.
На самом-то деле я проверил, что там нули.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Легко оценивается $a-b<\frac{1}{2*1003^3}$. Если оценить с точностью до 12 го знака, то правую часть енадо умножить на ln(2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Точнее $a-b=\frac{\ln 2 }{4*1003^3}+r,|r|<\frac{1}{1003^4}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А, Вы вот так? Красиво.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group