матан сходимость ряда и интеграла

[patriarch]

1)найти все a для которых ряд $\sum_{i=1}^\infty sin^a(1-cos(1/n))$ сходится
2)найти все a при которых интеграл $$\int\limits_1^\infty x^asin(1/x)cos(x^2)dx сходится

[ewert]

1). Тривиально -- просто замените на эквивалентные. Получится ряд для примерно степенной последовательности, про которую всё всем известно.

2). Чуть сложнее. Сделайте замену $x^2=t$, чтобы регуляризовать осциллирующий косинус. После чего, в принципе, тоже всё станет достаточно очевидным.

[Brukvalub]

В первой найдите степенную по номеру члена асимптотику общего члена ряда, а во второй начните с замены - замените аргумент косинуса новой переменной.

[patriarch]

в первом останеться просто $\sum_{i=1}^\infty 1/(n^($2a))$ 2a>1 и a>1/2?

Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

[Brukvalub]

patriarch в сообщении #207116 писал(а):

в первом останеться просто $\sum_{i=1}^\infty 1/(n^($2a))$ 2a>1 и a>1/2?

Да.

patriarch в сообщении #207116 писал(а):

Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

Продемонстрируйте здесь такой способ.

[ewert]

patriarch в сообщении #207116 писал(а):

Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

Только ухудшит. Поскольку аргументы тех синусов станут сложнее.

[patriarch]

Brukvalub писал(а):

Продемонстрируйте здесь такой способ.

$$1/2\int\limits_1^\infty x^asin(1/x+x^2)dx+1/2\int\limits_1^\infty x^asin(1/x-x^2)dx

Что делать дальше не знаю.
А как делаеться замена?у меня не выходит

[Brukvalub]

patriarch в сообщении #207158 писал(а):

Что делать дальше не знаю.

Так и я при таком раскладе не могу придумать ничего лучшего, чем откатиться назад...

[ewert]

Во второй задачке пафос такой. После замены получится обычный косинус, умноженный на примерно степенную функцию. Ну и будет он сходиться, ежели та функция убывает (примерно так по признаку Лейбница), в противном же случае -- расходиться.