2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 матан сходимость ряда и интеграла
Сообщение22.04.2009, 18:23 
1)найти все a для которых ряд $\sum_{i=1}^\infty sin^a(1-cos(1/n))$ сходится
2)найти все a при которых интеграл $$\int\limits_1^\infty x^asin(1/x)cos(x^2)dx сходится

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 18:36 
1). Тривиально -- просто замените на эквивалентные. Получится ряд для примерно степенной последовательности, про которую всё всем известно.

2). Чуть сложнее. Сделайте замену $x^2=t$, чтобы регуляризовать осциллирующий косинус. После чего, в принципе, тоже всё станет достаточно очевидным.

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 18:36 
Аватара пользователя
В первой найдите степенную по номеру члена асимптотику общего члена ряда, а во второй начните с замены - замените аргумент косинуса новой переменной.

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 18:44 
в первом останеться просто $\sum_{i=1}^\infty 1/(n^($2a))$ 2a>1 и a>1/2?

Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 18:53 
Аватара пользователя
patriarch в сообщении #207116 писал(а):
в первом останеться просто $\sum_{i=1}^\infty 1/(n^($2a))$ 2a>1 и a>1/2?
Да.
patriarch в сообщении #207116 писал(а):
Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

Продемонстрируйте здесь такой способ.

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 18:58 
patriarch в сообщении #207116 писал(а):
Во втором не очень понял чем замена поможет.Можно просто перемножить синус и косинус и разбить на два интеграла?

Только ухудшит. Поскольку аргументы тех синусов станут сложнее.

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 19:26 
Brukvalub писал(а):
Продемонстрируйте здесь такой способ.

$$1/2\int\limits_1^\infty x^asin(1/x+x^2)dx+1/2\int\limits_1^\infty x^asin(1/x-x^2)dx

Что делать дальше не знаю.
А как делаеться замена?у меня не выходит

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 19:29 
Аватара пользователя
patriarch в сообщении #207158 писал(а):
Что делать дальше не знаю.
Так и я при таком раскладе не могу придумать ничего лучшего, чем откатиться назад...

 
 
 
 
Сообщение22.04.2009, 19:37 
Во второй задачке пафос такой. После замены получится обычный косинус, умноженный на примерно степенную функцию. Ну и будет он сходиться, ежели та функция убывает (примерно так по признаку Лейбница), в противном же случае -- расходиться.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group