Да старая-то никуда не денется
Собственно, в процесс вычислений никакой оператор не вмешивается (иначе, дествительно, был бы какой-то произвол). Видимо, я просто неудачно объяснил процесс решения (не математик я по образованию). Попробую поподробнее
Изучаются некие физико-химические процессы, происходящие в исследуемой системе (что за система и какие именно процессы, думаю, неважно, но если интересно, могу рассказать). Ставится эксперимент, в процессе которого в систему порциями вводится некий компонент (количество в каждой порции -
![\[{{\alpha _j}}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/5/dd5860e61dd7578af37b7794b099d21f82.png "\[{{\alpha _j}}\]")
) и регистрируется отклик системы на сие воздействие (т.е. параметры
![\[{{x_j}}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/5/5e50e79c1d2cc4872feba470f539770b82.png "\[{{x_j}}\]")
и
![\[{{y_j}}\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/f/8ef3074036efae3bcd0b124d32d9c49082.png "\[{{y_j}}\]")
). При некоторых предположениях, можно показать, что эти величины связаны между собой приведенными выше интегральными уравнениями. Уравнения независимы и в таком виде их система, как Вы правильно заметили - избыточна. Однако, дело в том, что параметр
не может быть зарегистрирован в большей части интересующей области (ну не позволяет это чувствительность регистрирующей аппаратуры). С другой стороны, поскольку приведенные уравнения - независимы, этот самый параметр можно исключить из уравнений (не аналитически, а численным решением системы этих уравнений). Для этого задается некое разумное начальное приближение всех точек
. Зная
мы можем (по любому из уравнений, образующих систему) найти
![\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/9/6d936b1eeda30f437f170e6408f9ded782.png "\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]")
. Пусть для данного приближения
и известных
![\[{x_j},{\alpha _j}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a68d7c187de425fca384ff4b401762c82.png "\[{x_j},{\alpha _j}\]")
(
![\[j = 1...m\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/8/ca86d6bfe96333a17df1eba02f82f70d82.png "\[j = 1...m\]")
)
- найдена. Поскольку найдена она была только по одному уравнению, другому она будет удовлетворять только в том случае, если является решением системы (что и требуется). С другой стороны, считая (на данном этапе вычислений), что
удовлетворяет обоим уравнениям, мы можем (зная набор
) вычислить "теоретические" наборы
![\[x_j^t,y_j^t\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/2/492d898b9345cc8125228df0c8a950fc82.png "\[x_j^t,y_j^t\]")
, удовлетворяющие исходной системе интегральных уравнений (т.е. решить систему уже не интегральных, а просто нелинейных уравнений, например методом Ньютона для каждого j) и вычислить
![\[T = \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{x_j} - x_j^t} \right)}^2}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{y_j} - y_j^t} \right)}^2}} \]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/e/a2e303783bec0cabcd152872260d786282.png "\[T = \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{x_j} - x_j^t} \right)}^2}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{y_j} - y_j^t} \right)}^2}} \]")
. Вот эта невязка и используется в качестве минимизируемой функции в методе нелинейной минимизации относительно
(
. После того, как процесс нелинейной минимизации сошелся (с заданной точностью), мы имеем
,
![\[{x_j},{y_j},{\alpha _j}\;\;\;j = 1...m\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/c/90ccef8b571c44444e0ab54dc1269b3382.png "\[{x_j},{y_j},{\alpha _j}\;\;\;j = 1...m\]")
, удовлетворяющих представленной системе уравнений. Что здесь математически некорректно и зависит от вмешательства "оператора"?
Добавлено спустя 43 минуты 22 секунды:
Не спорю, такой метод решения - "в лоб" - не самый элегантный, но пока ничего иного придумать не могу. Как я уже говорил, все это минимизируется очень медленно (часами), откуда и возникло естественное желание если не изменить саму схему, то хотя бы ускорить вычисления (использованием, например, тех же преобразований Фурье). Просто обсуждение как-то отошло от первоначальной темы
