2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение22.04.2009, 02:15 
Да старая-то никуда не денется :) Собственно, в процесс вычислений никакой оператор не вмешивается (иначе, дествительно, был бы какой-то произвол). Видимо, я просто неудачно объяснил процесс решения (не математик я по образованию). Попробую поподробнее :) Изучаются некие физико-химические процессы, происходящие в исследуемой системе (что за система и какие именно процессы, думаю, неважно, но если интересно, могу рассказать). Ставится эксперимент, в процессе которого в систему порциями вводится некий компонент (количество в каждой порции - \[{{\alpha _j}}\]) и регистрируется отклик системы на сие воздействие (т.е. параметры \[{{x_j}}\] и \[{{y_j}}\]). При некоторых предположениях, можно показать, что эти величины связаны между собой приведенными выше интегральными уравнениями. Уравнения независимы и в таком виде их система, как Вы правильно заметили - избыточна. Однако, дело в том, что параметр \[{{y_j}}\] не может быть зарегистрирован в большей части интересующей области (ну не позволяет это чувствительность регистрирующей аппаратуры). С другой стороны, поскольку приведенные уравнения - независимы, этот самый параметр можно исключить из уравнений (не аналитически, а численным решением системы этих уравнений). Для этого задается некое разумное начальное приближение всех точек \[{{y_j}}\]. Зная \[{{y_j}}\] мы можем (по любому из уравнений, образующих систему) найти \[{\rho \left( {s,t} \right)}\]. Пусть для данного приближения \[{{y_j}}\] и известных \[{x_j},{\alpha _j}\] (\[j = 1...m\]) \[{\rho \left( {s,t} \right)}\] - найдена. Поскольку найдена она была только по одному уравнению, другому она будет удовлетворять только в том случае, если является решением системы (что и требуется). С другой стороны, считая (на данном этапе вычислений), что \[{\rho \left( {s,t} \right)}\] удовлетворяет обоим уравнениям, мы можем (зная набор \[{{\alpha _j}}\]) вычислить "теоретические" наборы \[x_j^t,y_j^t\], удовлетворяющие исходной системе интегральных уравнений (т.е. решить систему уже не интегральных, а просто нелинейных уравнений, например методом Ньютона для каждого j) и вычислить \[T = \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{x_j} - x_j^t} \right)}^2}}  + \sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {{y_j} - y_j^t} \right)}^2}} \]. Вот эта невязка и используется в качестве минимизируемой функции в методе нелинейной минимизации относительно \[{{y_j}}\] (\[j = 1...m\]. После того, как процесс нелинейной минимизации сошелся (с заданной точностью), мы имеем \[{\rho \left( {s,t} \right)}\], \[{x_j},{y_j},{\alpha _j}\;\;\;j = 1...m\], удовлетворяющих представленной системе уравнений. Что здесь математически некорректно и зависит от вмешательства "оператора"?

Добавлено спустя 43 минуты 22 секунды:

Не спорю, такой метод решения - "в лоб" - не самый элегантный, но пока ничего иного придумать не могу. Как я уже говорил, все это минимизируется очень медленно (часами), откуда и возникло естественное желание если не изменить саму схему, то хотя бы ускорить вычисления (использованием, например, тех же преобразований Фурье). Просто обсуждение как-то отошло от первоначальной темы :)

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group