Численное решение системы интегральных ур-ний Фредгольма I р

[Glk63]

Собственно, проблема в следующем. Существует система из двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода (типа свертки). Хотелось бы решить ее методом фурье-преобразований с регуляризацией, однако загвоздка в том, что для этого необходимо знать аналитическое представление фурье-образа ядер уравнений. Сам я не силен в фурье-преобразованиях, посмотрел литературу, попробовал вычислить сам, но пока ничего путного не получилось... Понял, что вроде как нужно использовать обобщенные функции, но не более... Ядра с виду простые:

\[{K_1}\left( {x,y} \right) = \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x} + {e^y}}};\;\;\;{K_2}\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{1 + {e^x} + {e^y}}};\]

Пробовал Maple - не берет. Существует ли вообще фурье-преобразование (двумерное) данных ядер?

[Полосин]

Напишите, пожалуйста, полную постановку задачи.

[Glk63]

Необходимо решить систему уравнений (естественно, численно):

\[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{{t_{\min }}}^{{t_{\max }}} {\int\limits_{{s_{\min }}}^{{s_{\max }}} {{K_1}\left( {x - s,y - t} \right)\rho \left( {s,t} \right)dsdt} = {f_1}\left( {x,y} \right)} \\ \int\limits_{{t_{\min }}}^{{t_{\max }}} {\int\limits_{{s_{\min }}}^{{s_{\max }}} {{K_2}\left( {x - s,y - t} \right)\rho \left( {s,t} \right)dsdt} = {f_2}\left( {x,y} \right)} \\ \end{array} \right. \\ \\ \end{array}\]

относительно

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

и неизвестной функции

\[y\left( \alpha \right)\]

(

\[x = x\left( \alpha \right)\]

не стал писать в системе, чтобы не загромождать). Сейчас эта система решается посредством дискретизации интегралов и использования регуляризации при решении линейной системы (при этом свойства свертки не используются),

\[y\left( \alpha \right)\]

находится нелинейной минимизацией. Недостаток такого подхода очевиден - даже при малом числе узлов интегрирования по каждому измерению, порядок СЛАУ получается большим (ибо растет квадратично). А поскольку сверху еще и нелинейная минимизация, то считается все очень долго, но считается нормально. Вот и хотелось бы использовать свойства свертки для решения оной системы, что, в свою очередь, упирается в аналитическое вычисление образов ядер. Может быть это можно сделать как-то по-другому, но не могу придумать, как...

[st256]

А на $ \rho (s,t) $ ограничения есть какие-нибудь?

Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд:

кстати, чтобы свертку на перемножение поменять не обязательно нужны интегралы Фурье. Можно при соответствующх ограничениях работать с воспроизводящими ядрами. Там все проще получается.

[Полосин]

Главная проблема в том, что интервалы конечные - в этом случае уравнения с разностным ядром в квадратурах не решаются.

[Glk63]

Ограничения на

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

есть - всюду неотрицательная (поэтому для решения СЛАУ используется NNLS). А про воспроизводящие ядра можно поподробнее (хотя бы где искать )? Еще лучше, какой-нибудь пример использования оных для решения подобных задач.

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

Полосин писал(а):

Главная проблема в том, что интервалы конечные - в этом случае уравнения с разностным ядром в квадратурах не решаются.

Не совсем так, теоретически там интервалы от минус бесконечности, до плюс. Конечные используются только для численных методов.

[Утундрий]

Glk63 писал(а):

относительно

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

и неизвестной функции

\[y\left( \alpha \right)\]

(

\[x = x\left( \alpha \right)\]

не стал писать в системе, чтобы не загромождать).

Как-то странно звучит. Я пока только одну неизвестную функцию вижу - $\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]$.

[Glk63]

В смысле

\[y = y\left( \alpha \right);\;x = x\left( \alpha \right)\]

.

\[x = x\left( \alpha \right)\]

- известно,

\[y = y\left( \alpha \right)\]

необходимо найти. Т.е. задается некоторое начальное приближение к

\[y\left( \alpha \right)\]

, решается интегральное уравнение и в процессе нелинейной минимизации

\[y\left( \alpha \right)\]

изменяется таким образом, чтобы удовлетворить обоим уравнениям (т.е. при каждом вычислении целевой функции в нелинейной минимизации решается интегральное уравнение, по текущему решению

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

восстанавливаются теоретические

\[{y_t}\left( \alpha \right)\]

и

\[{x_t}\left( \alpha \right)\]

сумма квадратов отклонений теоретических от экспериментальных - минимизируется)

[Утундрий]

Понятнее не стало. Глядя на

$$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {k_i \left( {x - s,y - t} \right)\rho \left( {s,t} \right)dsdt = f_i \left( {x,y} \right)} } \]$$

, $\[i = 1,2\]$ я вижу только переопределенную систему для $\rho \left( {s,t} \right)$. Запишите уравнения ничего не опуская, иначе невозможно понять о чем идет речь. Возможно требуется удовлетворить уравнения не для всех пар $(x,y)$, а лишь на некоторой кривой $(x(\alpha),y(\alpha))$?

[Glk63]

\[x,y,\alpha \]

- связаны однозначно, т.е. один из этих компонентов однозначно определяется по двум другим (например, через представленную систему уравнений). Может быть корректнее было бы написать:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{K_i}\left( {{x_j} - s,{y_j} - t} \right)\rho \left( {s,t} \right)dsdt} = {f_i}\left( {{x_j},{y_j},{\alpha _j}} \right)} ,\;\;\;\;i = 1,2;\;\;j = 1...m\]

\[m\]

- число экспериментальных точек.

\[{f_1}\left( {{y_j},{\alpha _j}} \right) = {\alpha _j}{C_1} - \left( {1 + {\alpha _j}} \right){e^{ - {y_j}}};\;\;\;{f_2}\left( {{x_j},{y_j},{\alpha _j}} \right) = \left( {1 + {\alpha _j}} \right)\left( {{e^{ - {x_j}}} + {e^{ - {y_j}}} - {C_2}{e^{{x_j}}}} \right) + {C_3} + {\alpha _j}{C_4}\]

и

\[{C_i},\;i = 1...4\]

- некие константы

[st256]

Glk63 писал(а):

Ограничения на

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

есть - всюду неотрицательная (поэтому для решения СЛАУ используется NNLS). А про воспроизводящие ядра можно поподробнее (хотя бы где искать )? Еще лучше, какой-нибудь пример использования оных для решения подобных задач.

Ядро для одномерного случая выглядит так:

$ x(t)= \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } K( \tau, t), x( \tau ) d \tau $

На многомерный случай обобщите сами. Заменить свертку на произведение тут не очень удается, но иногда такой аппарат всеже упрощает решение. К сожалению прочесть про воспроизводящее ядро на русском сложно, сам искал долго и нудно. Кто-то в Ленинграде этим занимается. А гуглить по reproducing kernal нужно.
На счет ограничений я спрашивал потому, что очень часто возможно функцию представить последовательностью. Что все упрощает еще больше.

[Glk63]

to st256

Спасибо, попробую поискать.

[st256]

Кстати, чуть повнимательнее посмотрел на Вашу систему. Судя по тому, что интеграл опреленный, то Ваша \rho (s,t) есть финитная функция по обеим переменным. Следовательно, она разлагается в ряд Фурье, и получается, что интеграл возможно заменить на сумму.

Если же пределы интегрирования задаете Вы сами, то либо в \rho (s,t) уже включена оконная функция, либо решите Вы Ваш интеграл с приличной ошибкой.

[Glk63]

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

локализована в достаточно узкой области, за пределами которой она равна 0. Оценить границы области локализации достаточно просто, исходя из априорной информации об исследуемой системе. По физическому смыслу

\[{\rho \left( {s,t} \right)}\]

- ненормированная плотность вероятности. Я просто не совсем понял, чем поможет замена интеграла на сумму (имеется в виду ряд Фурье?). Сейчас в процессе дискретизации он ведь на сумму и заменяется. Или потому, что при разложении в ряд Фурье можно ограничиться небольшим числом членов ряда в силу быстрой сходимости?

[Утундрий]

Знаете, у меня сложилось такое впечатление, что лучше бы вам свою схему не трогать... а то еще чего доброго работать перестанет. Математически внятной постановки у вас попросту нет, а есть какая-то сложная система ошибок, в некоторых местах корректирующаяся неалгоритмируемым вмешательством оперетора (человеческий фактор: мне вот показалось, что вот это пятнушко какое-то не такое, уберем его)...

Имхо, конечно.