Задачи на экстремумы и выпуклость функции

[bull_mipt]

1) Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума?

2)Может ли всюду выпуклая вниз (вверх) функция иметь более одного экстремума?

Ответ в обоих случаях известен- нет, нет.
Как доказать- не знаю.

[ewert]

1). В окрестности экстремума график лежит по одну сторону касательной, в окрестности перегиба -- по разные.

2). Выпуклость означает монотонное изменение наклона и, следовательно, наклон может обращаться в ноль только один раз.

[bull_mipt]

По-моему, функция может быть недиффиренцируемой в точке экстремума, поэтому о касательных говорить нельзя.

Почему кстати в первом случае не подходит функция, которая при отрицательных х ведет себя как квадрат, а при положительных как корень? 0- точка минимума и направление выпуклости при положительных и отрицательных х разное.

[gris]

Вообще-то, по определению точки перегиба функция в ней должна быть дифференцируемой (Зорич, Кудрявцев), хотя кое-где ( Ну википедия, разумеется) пишут, что это просто точка, разделяющая области различной выпуклости. Посмотрите у себя в конспектах.

[bull_mipt]

В нашем университетском курсе (Тер-Крикоров - Шабунин) для точки перегиба дается второе определение.

[gris]

Вы меня опередили. Ну тогда Ваш пример проходит как контр.

Добавлено спустя 12 минут:

Кстати, у Вольфрама тоже явно не написано, что в инфлексной точке должна существовать производная, но если вчитаться, то можно это понять. Впрочем, там дается определение для кривой, а может быть ранее она предполагается быть гладкой?

[ewert]

Между прочим, в Википедии тоже подразумевается, что функция в точке перегиба по определению дифференцируема. Потому что там ссылаются на касательную в этой точке.

[gris]

Позволю себе альтернативно возразить. В википедии касательная упоминается уже после определения, зы словами "т.е.", а само определение гласит: "... внутренняя точка $x_0$ области определения $f$ такая что $f$ непрерывна в этой точке, и $x_0$ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз."

[ewert]

Тогда это просто неверное определение. Трудно представить себе, чтобы кто-нибудь назвал перегибом точку из того самого контрпримера.

Но фактически, конечно, оно не неверно, а просто разгильдяйски сформулировано. Поскольку дальше про касательную говорится не предположительно, а как о несомненно существующей: "В этом случае <...> график функции $f$ в точке $(x_0;f(x_0))$ «перегибается» через касательную к нему в этой точке". Т.е. откровенно автор именно предполагал наличие касательной, но постеснялся об этом открыто сообщить.

[мат-ламер]

Выпуклая функция может иметь более одного экстремума. Единственный экстремум имеет строго выпуклая функция.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #205379 писал(а):

Выпуклая функция может иметь более одного экстремума.

Или один, или бесконечное количество. Строгих экстремумов -- не более одного.

[ASA]

bull_mipt писал(а):

1) Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума?

2)Может ли всюду выпуклая вниз (вверх) функция иметь более одного экстремума?

Ответ в обоих случаях известен- нет, нет.

В обоих случаях ответ: да. Пример: $f(x)\equiv C$.
Эта функция и выпукла и вогнута одновременно. Значит каждая точка отделяет участок выпклости от участка вогнутости и, следовательно, явл. точкой перегиба. Ну и понятно, что каждая точка есть точка максимума и точка минимума.

[Алексей К.]

bull_mipt в сообщении #205353 писал(а):

По-моему, функция может быть недиффиренцируемой в точке экстремума, поэтому о касательных говорить нельзя.

gris в сообщении #205362 писал(а):

Кстати, у Вольфрама тоже явно не написано, что в инфлексной точке должна существовать производная, но если вчитаться, то можно это понять. Впрочем, там дается определение для кривой, а может быть ранее она предполагается быть гладкой?

Ф-ция $y=\sqrt[\:3]{x}$ в нуле, кажется, не очень дифференцируема.
Полагаю, о касательной к фунции говорить нельзя, а о касательной к графику функции --- можно. И точка перегиба, видимо, не функции, а плоской кривой (графика функции).

[gris]

Алексей К., я согласен.
Точка перегиба, как и выпуклость участка кривой, не зависит от движений этой кривой в системе координат. А её характеристики как графика некоторой функции зависят. Возрастание, экстремумы.
Требуя существование производной в точке мы (мы с Зоричем:) ) несправедливо исключаем функции, график которых представляет собой гладкую кривую, а производная в точке перегиба не существует.
Если рассматривать $\sqrt[3]x$, то в точке 0 касательной к графику тоже не существует (с точки зрения некоторых учебников), а касательная к кривой существует.
Ясно одно, что точка перегиба не должна быть точкой излома кривой, то есть точкой в которой правая и левая производная не равны.

Либо надо как-то выделять случай бесконечной производной.

А вот интересно, если производная равна бесконечности в некоторой точке функции, то будет ли её график гладким в этой точке?

[Алексей К.]

gris писал(а):

Если рассматривать $\sqrt[3]x$, то в точке 0 касательной к графику тоже не существует (с точки зрения некоторых учебников), а касательная к кривой существует.

Yarkin написал учебник по курвологии???

gris писал(а):

Ясно одно, что точка перегиба не должна быть точкой излома кривой, то есть точкой в которой правая и левая производная не равны.

Точку излома кривой, кстати, иногда описывают, включая в натуральное уравнение дельта-функцию (с множителем, обеспечивающим поворот, произошедший в изломе). И мы имеем вершину (экстремум кривизны). Но тут я снова с функций на кривые оффтопно перескакиваю.
У функции

$$y=\left\{\begin{array}{ll} |x|,\quad&|x|\le 1;\\ 2\sqrt{|x|}-1,\quad&|x|\ge 1; \end{array}\right.$$

по обе стороны от точки излома есть линии перегиба.

gris писал(а):

А вот интересно, если производная равна бесконечности в некоторой точке функции, то будет ли её график гладким в этой точке?

Дык чем $y=\sqrt[3]x$ не катит? Такой же бесконечно гладкий, как у кубической параболы.

Возможно, Вы имели в виду бесконечную кривизну? Кажется, полукубическая парабола $y=\sqrt{|x|^3}$ или $y=\sqrt{|x|^3}\cdot \mathrm{sign}\,x$ сослужит примером.