Мера Лебега и измеримые функции

[cody]

Дана функция $f(x)$, непрерывная на отрезке $[0,1]$.Рассмотрим функцию $g(t)=m(\{x|f(x)>t\})$ ($m$ - мера).Доказать, что $g(t)$ не возрастает на числовой прямой и непрерывна в каждой точке

[gris]

Первое утверждение справедливо для любых функций $f$, а не только непрерывных. Рассмотрите множества

$$\{x|f(x)>t_1\}$$

и

$$\{x|f(x)>t_2\}$$

при

$$t_1>t_2$$

и свойство меры. Если $f$ непрерывна, то можно даже указать интервал строгого убывания.

Во втором случае непрерывность функции $f$ необходима. Попробуйте написать условие непрерывности $g$

Формулы окружайте не тегом math, а знаками доллара $

[AD]

cody в сообщении #205038 писал(а):

Доказать, что g(t) не возрастает на числовой прямой и непрерывна в каждой точке

Это простейшие свойства меры: монотонность меры и непрерывность меры.