2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Мера Лебега и измеримые функции
Сообщение15.04.2009, 12:40 
Дана функция $f(x)$, непрерывная на отрезке $[0,1]$.Рассмотрим функцию $g(t)=m(\{x|f(x)>t\})$ ($m$ - мера).Доказать, что $g(t)$ не возрастает на числовой прямой и непрерывна в каждой точке

 
 
 
 
Сообщение15.04.2009, 12:55 
Аватара пользователя
Первое утверждение справедливо для любых функций $f$, а не только непрерывных. Рассмотрите множества $$\{x|f(x)>t_1\}$$ и $$\{x|f(x)>t_2\}$$ при $$t_1>t_2$$ и свойство меры. Если $f$ непрерывна, то можно даже указать интервал строгого убывания.

Во втором случае непрерывность функции $f$ необходима. Попробуйте написать условие непрерывности $g$

Формулы окружайте не тегом math, а знаками доллара $

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 12:02 
cody в сообщении #205038 писал(а):
Доказать, что g(t) не возрастает на числовой прямой и непрерывна в каждой точке
Это простейшие свойства меры: монотонность меры и непрерывность меры.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group