Множества, с большей мощьностью, чем континуум

[kvanttt]

Кардановский писал(а):

Да,связь эта не всегда очевидна ,но это вовсе не значит,что этой связи у некоторых разделов математики нет вообще!

Я не заявлял такого.

Но свой пост я тоже написал не совсем корректно.

[Кардановский]

kvanttt: См.Ваш пост от 27.12.98. Впрочем,на то и дискуссии,чтобы в них высказывать спорное и аргументировать против спорного... Что касается,собственно, данной темы,то, на мой взгляд,из ее содержания прямо таки напрашивается следующее: "Существует предел мощности множеств". Иными словами,существует множество с мощностью, более которой,любые множества иметь мощность не могут. Антитеза же этой гипотезе,очевидно,такова: "Предела мощности множеств не существует".... Что верно?

[AD]

Кардановский в сообщении #190775 писал(а):

Иными словами,существует множество с мощностью, более которой,любые множества иметь мощность не могут.

Из детства помню такую загадку: что не пролезет в сколь угодно большую кострюлю? Ответ: её крышка.

Ну вот представьте себе это ваше "множество с наибольшей возможной мощностью", а потом представьте его множество подмножеств. Второе больше, вот и всё, крышка.

[Кардановский]

AD: Не хотите ли Вы этой своей репликой сказать,что представили пример доказательсва невозможности существования множества предельно большой мощности?А существуют ли еще и другие варианты доказательства этой гипотезы невозможности существования множнства предельно большой мощности? Кстати заметить: ведь кастрюли то иногда бывают и без крышек вовсе!

[Nxx]

Че-то какой-то непонятный спор. Если множество всех действительных чисел - это множество континуума, то оно не может содержать множества большей мощности. Соответственно,. втиснуть такие множества в числовой ряд без ординалов не получится.

[Someone]

Nxx в сообщении #191786 писал(а):

Если множество всех действительных чисел - это множество континуума, то оно не может содержать множества большей мощности. Соответственно,. втиснуть такие множества в числовой ряд без ординалов не получится.

А кто именно собирался это сделать? Какой "числовой ряд" образует множество действительных чисел? Причём тут ординалы? Они к множеству действительных чисел отношения не имеют.

[Кардановский]

AD: Цитирование континиум-гипотезы не решает проблемы континиума...

[AD]

Кардановский: RTFM.

[Pi]

Someone в сообщении #191818 писал(а):

Причём тут ординалы? Они к множеству действительных чисел отношения не имеют.

Вообще-то порядковые числа (ординалы) имеют отношение к множествам любой мощности. Для них всех есть свом ординалы.
Можно сказать что все множества распадаются на классы эквивалентности, по типу модулей (делитель, остаток), (кардинальное число, ординальный тип).
Так же как делитель вообще говоря не имеет предела, так кардинальные числа не имеют предела. А в кардинальное чило не может втиснуться большее кардинальное число, поскольку они вполне упорядочены. У Хаусдорфа это все строго доказывается.

[Someone]

Господи, Pi, ну зачем Вы пишете о том, в чём не разбираетесь?

[Pi]

Someone писал(а):

Господи, Pi, ну зачем Вы пишете о том, в чём не разбираетесь?

Отвечать на наезд не буду, поскольку пишу то в чем разбираюсь абсолютно.

[Someone]

Pi в сообщении #205041 писал(а):

пишу то в чем разбираюсь абсолютно

Разъясните:

Pi в сообщении #204796 писал(а):

Можно сказать что все множества распадаются на классы эквивалентности, по типу модулей (делитель, остаток), (кардинальное число, ординальный тип).
Так же как делитель вообще говоря не имеет предела, так кардинальные числа не имеют предела. А в кардинальное чило не может втиснуться большее кардинальное число, поскольку они вполне упорядочены.

Что всё это означает?

[Pi]

Просто у каждого кардинального числа имеется набор порядковых типов которые могут иметь множества данной мощности.

В этом смысле (кардинальное число, ординальный тип) есть классы эквивалентности (мощностей).

Порядковый тип также распадается на класс эквивалентности (типов) в частности на класс вполне упорядоченных множеств - что называется порядковым числом.

Внутри данного класса эквивалентности (мощностей) могут быть определенны все четыре операции арифметики в одном классе эквивалентности (типов).

Кардинальные числа вполне упорядоченны и не имеют предела (самого большого числа).
Ординальные числа вполне упорядоченны и не имеют предела (самого большого числа).

[Someone]

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Просто у каждого кардинального числа имеется набор порядковых типов которые могут иметь множества данной мощности.

Речь идёт, как я понял, о множестве порядковых типов множеств данной мощности.

Pi в сообщении #205329 писал(а):

В этом смысле (кардинальное число, ординальный тип) есть классы эквивалентности (мощностей).

Мощность (кардинальное число) действительно иногда можно рассматривать как класс эквивалентности (если теория множеств включает классы). Насчёт ординального типа не понял.

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Порядковый тип также распадается на класс эквивалентности (типов) в частности на класс вполне упорядоченных множеств - что называется порядковым числом.

Не понял. Два множества с заданными на них отношениями порядка имеют одинаковый порядковый тип, если между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие, являющееся изоморфизмом отношений порядка. На какой класс эквивалентности распадается порядковый тип? Причём тут вполне упорядоченные множества?

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Внутри данного класса эквивалентности (мощностей) могут быть определенны все четыре операции арифметики в одном классе эквивалентности (типов).

Какие операции арифметики? Каких типов?

Pi в сообщении #205329 писал(а):

Кардинальные числа вполне упорядоченны и не имеют предела (самого большого числа).

Если мы принимаем аксиому выбора, то любое множество кардиналов будет вполне упорядоченным. Без аксиомы выбора это не так. Употребление термина "предел" в таком смысле для меня выглядит весьма экзотическим.

И осталась полной загадкой связь между ординалами и действительными числами. Конечно, если мы принимаем аксиому выбора, то множество действительных чисел можно упорядочить. Ну и что? Это упорядочение никак не связано с тем, что это именно множество действительных чисел.

[LetsGOX]

kvanttt Ну а комплексные числа - ведь вещественные числа заполнят как раз дырки в комплексных числах