Сохранение гамма-распределения при трансформации

[Neytrall]

Здравствуйте.
Помогите разобраться и понять трансформации.
У меня есть $X\sim Gamma(\alpha,\beta)$ и его линейная трансформация $Y=aX+b$. Мне надо найти при каких $a$ и $b$ распределение $Y$ останется таким же как и распределение $X$ .
Я попробовал разобраться в технике сделав $X\sim U(0,1)$ , но у меня не вышло. Точнее я пришёл к $b<Y<a+b$, но для чего...
В общем если сможете мне объяснить, что и как я должен делать, то это мне очень поможет. Спасибо)

[--mS--]

Очевидно, только при $b=0$ и $a=1$.

[Neytrall]

Это когда Х имеет равномерное непревывное распределение, да?
А что с Гаммой?

Добавлено спустя 1 час 9 минут 27 секунд:

не...что-то тут не правильно.

[ewert]

Любое вообще распределение при нетривиальной линейной замене изменится -- хотя бы потому, что у него соответствующим образом изменятся матожидание и дисперсия (если они, конечно, есть). Точнее так: при $a\neq1$ заведомо изменится дисперсия, а при $a=1$ заведомо изменится матожидание, если только $b\neq0$.

Другой вопрос, что можно потребовать сохранения только типа распределения, разрешив при этом изменять его параметры. Это можно. В частности, гамма-распределение останется таковым тогда и только тогда, когда $b=0$ и $a>0$.

[Neytrall]

Вот. Нужно чтобы после трансформации распределение осталось таким же.

Цитата:

гамма-распределение останется таковым тогда и только тогда, когда $b=0$ и $a>0$.

А как это найти?

[--mS--]

"Таким же" - т.е. гамма-распределением? Запишите плотность этого распределения, потом плотность $f_{aX+b}(t)=\frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{t-b}{a}\right)$ и сравните с плотностью гамма-распределения.

[ewert]

Да не надо в явном виде выписывать новую плотность. Ненулевые $b$ запрещены, т.к. меняют множество возможных значений величины. По тем же причинам запрещены отрицательные $a$. А всё остальное (кроме, естественно, $a=0$) разрешено, т.к. изменение масштаба вносит изменение только в коэффициент под экспонентой (ну и ещё в нормировочную константу, но она не принципиальна).

И, кстати, прошу прощения у всех, кого по рассеянности ввёл в заблуждение. Есть-таки один нетривиальный случай, когда распределение сохраняется буквально. Если исходное распределение симметрично, то кроме $Y=X$ годится ещё $Y=-X+b$, где $b=2M[X]$

[Neytrall]

--mS-- писал(а):

плотность $f_{aX+b}(t)=\frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{t-b}{a}\right)$

Как вы получили эту плотность?

[ewert]

Стандартное правило: $f_{Y(X)}(y)=f_X(x(y))\cdot\big|{dx\over dy}\big|.$ (если замена монотонна)

[Neytrall]

$F_x(X)=\frac {\beta ^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$
А после трансформации у меня получилось:
$F_x(X)=\frac {\beta ^\alpha}{\Gamma(\alpha)}(ax+b)^{\alpha -1}e^{-\beta(ax+b)}$
И это надо приравнять?

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Впервые вижу это правило(((

[--mS--]

ewert писал(а):

Да не надо в явном виде выписывать новую плотность. Ненулевые $b$ запрещены, т.к. меняют множество возможных значений величины. По тем же причинам запрещены отрицательные $a$. А всё остальное (кроме, естественно, $a=0$) разрешено, т.к. изменение масштаба вносит изменение только в коэффициент под экспонентой (ну и ещё в нормировочную константу, но она не принципиальна).

Разве Вы не видите, что подобного рода соображения автору вопроса непонятны? Прежде чем научиться видеть безо всяких выкладок то, как на распределении отражается "изменение масштаба" и т.п., требуется полсотни раз проделать то, что автор собирается проделать впервые.

[Neytrall]

не, что-то я не то понаписал...

[--mS--]

Neytrall писал(а):

$F_x(X)=\frac {\beta ^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

Плотность распределения не обозначается большой буквой $F$. Большая буква зарезервирована для функций распределения. Смените букву. В аргументе у функции должа стоять не $X$, а $x$ - действительная переменная.
И плотность у гамма-распределения не такая. Это выражение - для плотности исключительно при $x> 0$.

Neytrall писал(а):

А после трансформации у меня получилось:
$F_x(X)=\frac {\beta ^\alpha}{\Gamma(\alpha)}(ax+b)^{\alpha -1}e^{-\beta(ax+b)}$

Неправильно получилось. Чтобы, зная $f(x)$, найти $f(5x)$, надо во все места, где встретится $x$, подставить вместо него $5x$.

Neytrall писал(а):

И это надо приравнять?

К чему и зачем?

[ewert]

Neytrall в сообщении #204325 писал(а):

не, что-то я не то понаписал...

угу, Вы перепутали прямое и обратное преобразования при подстановке

[Neytrall]

$f_x =0$ при $x<0$
$f_x=\frac {\beta ^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$ при $x>0$

$Y=aX+b \Longrightarrow X=\frac {Y}{a}-\frac {b}{a} $

А теперь надо как-то это совместить и взять интегралл, верно?

Добавлено спустя 5 минут 45 секунд:

Извените, что туплю, но мне действительно надо понять как это делается.