Что такое НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ?

[Brukvalub]

hsepec в сообщении #203940 писал(а):

Я же задал вполне конкретный вопрос:
"Какая смысловая нагрузка в выражении "$lnx=a$" у переменной "x"?

Ответ: х - это ЗНАЧЕНИЕ! Это может быть:
1. Количество деревьев.
2. Длина радиуса площади круга:D
3. Количество гаек в двигателе.
4. Размер ботинок.
5. Объем стакана в кубических сантиметрах,
и т.д.

hsepec в сообщении #203940 писал(а):

Пошло-поехало...Доехало до того, что \int\frac{dx}{x}=0! Да, похоже с перепоя...

уважаемый, не стоит, сделав ошибку в вопросе, приписывать ее отвечающему.
Еще рз повторяю: у символа интегрирования, то есть у интеграла - нулевая площадь. А выписанное вами выражение определяет площадь криволинейной трапеции под графиком гиперболы, но никак не площадь интеграла.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #203942 писал(а):

у символа интегрирования, то есть у интеграла - нулевая площадь.

Нет, ну почему же. Я тут прикинул -- у меня получилось что-то порядка полусотни пикселов.

[hsepec]

Цитата:

ewert:
А если серьёзно -- то надо доказать, что этот интеграл равен логарифму, а тогда уж можно и считать.

Ну, давайте считать!
Озаботимся вопросом: "Если от x_1=1 "откладывать" площадь " интеграла \int\limits_{1}^{x}\frac{dx}{x}, то чему будет равен x_2, когда площадь станет равна 1"?

[ewert]

2.718281828459045...

[hsepec]

Можно и "Диаметр шляпки гвоздя подошвы левого ботинка".
А все-таки если по ТЕМЕ!
Что является аргументом функции, которая называется натуральным логарифмом?

[Brukvalub]

hsepec в сообщении #203948 писал(а):

Что является аргументом функции, которая называется натуральным логарифмом?

Произвольное положительное вещественное число.

[Xaositect]

hsepec писал(а):

Можно и "Диаметр шляпки гвоздя подошвы левого ботинка".
А все-таки если по ТЕМЕ!
Что является аргументом функции, которая называется натуральным логарифмом?

Действительное число.

Или комплексное.
Или оператор.

[ewert]

hsepec в сообщении #203948 писал(а):

Можно и "Диаметр шляпки гвоздя подошвы левого ботинка".

Нельзя -- диаметр есть величина размерная.

[hsepec]

Кто-нибудь знает, откуда взялась формула \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e?
(только не острите, что из головы Эйлера....)

Добавлено спустя 5 минут 40 секунд:

ewert писал(а):

2.718281828459045...

Так, идем дальше...А если $x_1=2$, откладываем еще раз "1", чему будет равен $x$_2?

[ewert]

hsepec в сообщении #203954 писал(а):

Кто-нибудь знает, откуда взялась формула \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e?

Из формулы $\lim\limits_{t\to0}{e^t-1\over t}=1.$

hsepec в сообщении #203954 писал(а):

Так, идем дальше...

Идите.

[Brukvalub]

hsepec в сообщении #203944 писал(а):

Озаботимся вопросом: "Если от x_1=1"откладывать" площадь " интеграла \int\limits_{1}^{x}\frac{dx}{x}, то чему будет равен x_2

x_2=1.
Вам же уже объясняли, что площадь интеграла равна 0.
Если от чего-либо отложить 0, то получится исходное что-либо.

[RIP]

Кстати, у некоторых в школе натуральный логарифм определяется как интеграл, $\ln x:=\int_1^x\frac{dt}t$, а $e^x$ --- как функция, обратная к $\ln x$.

[ewert]

RIP писал(а):

Кстати, у некоторых в школе натуральный логарифм определяется как интеграл, $\ln x:=\int_1^x\frac{dt}t$, а $e^x$ --- как функция, обратная к $\ln x$.

Это идеологически плохо. Базовые свойства логарифма гораздо принципиальнее, чем то, что это интеграл. А свойства показательной функции ещё принципиальнее, чем свойства логарифма. При этом интеграл -- довольно сложное понятие, и в школе даётся лишь на лирическом уровне.

Определять логарифм через интеграл -- значит за деревьями не видеть леса.

[Профессор Снэйп]

А почему $e^x$ через степенной ряд никто не хочет определять? Быстрее же сходится!

[ewert]

Потому, что ряды появляются гораздо позже экспоненты. И опять же: совершенно непонятно, зачем вообще нужен именно такой ряд, и не видны свойства определяемой им функции.