Что такое НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ?

[hsepec]

Какая смысловая нагрузка в выражении "$ln x=a$" у переменной "х"?

Для этого надо выяснить: Что такое "$e$"? Во всех учебниках, которые я смог найти, для объяснения "числа Эйлера" используется "первый замечательный предел": \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e. Откуда он взят? Нигде не нашел "вывода" этого предела!

А я люблю "докапываться " до СУТИ "явления". Решил попробовать самому понять, что такое это "$e$".

Во-первых, из графика функции "$y=\frac{1}{x}$" видно, что число "$e$" имеет следующий смысл:

\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x}=1. Или, в чуть более общем виде: \int\limits_{n}^{ne}\frac{dx}{x}=1. Тогда получается: \int\limits_{n}^{ne}\frac{dx}{x}=ln e.

Так что, выходит, что \int\limits_{n}^{nx}\frac{dx}{x}=ln x? Т.е. "x" не "величина", а "соотношение величин"?!
Исходя из того, что "x" - соотношение величин, вывел формулу:

\lim\limits_{x\to\infty}(\left\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}\right)^x=e.

Так все же, в формуле "$ln x=a$" "х" некая величина или безразмерное СООТНОШЕНИЕ?

[Brukvalub]

Прежде, чем пытаться разобраться в таком НЕТРИВИАЛЬНОМ вопросе, попробуйте начать с более простых, скажем, с такого:
Какая смысловая нагрузка в выражении "$\log _2 x = a$" у переменной "х"?

[Алексей К.]

hsepec писал(а):

Так все же, в формуле "$ln x=a$" "х" некая величина или безразмерное СООТНОШЕНИЕ?

Это некая величина, являющаяся (обычно) отношением двух других величин. Например, массы и единицы/эталона массы, давления сейчас и давления в начальный момент, длины дуги окружности и её радиуса, и проч.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Какая смысловая нагрузка в выражении "$\log _2 x = a$" у переменной "х"?

Не такой уж это и простой вопрос, если разобраться. Понятно, что такое $2^2$. Чуть менее, но всё же понятно $2^{1/2}$. А $2^\pi$ уже совсем непонятно.

[ewert]

hsepec в сообщении #203907 писал(а):

Что такое "$e$"? Во всех учебниках, которые я смог найти, для объяснения "числа Эйлера" используется "первый замечательный предел": \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e. Откуда он взят?

В действительности всё не так, как на самом деле. Да, действительно, в учебниках число $e$ обычно определяется этим пределом, причём по целочисленнам $x$. Но делается это исключительно для того, чтобы упростить и спрямить логическую цепочку. Фактическая же причина возникновения числа $e$ в следующем. Из общих свойств показательной функции следует, что её производная пропорциональна ей самой: $\left(a^x\right)'=\mathop{\mathrm{const}}\cdot a^x,$ где константа, естественно, зависит от основания. Так вот, $e$ -- это такое основание, для которого эта константа отсутствует, т.е. формула выглядит проще всего.

[hsepec]

To ewert:
Вы приводите пример, когда УЖЕ понятно, что такое e.
А если есть только график функции $y=\frac{1}{x}$. Нет ЕЩЕ показательных функций! Как ОПРЕДЕЛИТЬ, что такое $e$. Т.е., другими словами, с чего начать учебник, который будет объяснять, что такое НАТУРАЛЬНЫЙ логарифм?

Алексею К.
Так все-таки $e$ - не ВЕЛИЧИНА, а безразмерное СООТНОШЕНИЕ?!

[ewert]

Если ещё нет показательных функций -- то тем более нет и логарифмов. Ии уж тем более нет никакого $e$.

hsepec в сообщении #203931 писал(а):

Вы приводите пример, когда УЖЕ понятно, что такое $e$.

Это не так. Никакого $e$ пока ещё нет. Но поскольку та константа в формуле для производной заведомо пропорциональна какому-нибудь логарифму -- при некотором основании (причём единственном) эта константа просто обязана обратиться в единицу. Вот это самое основание и будет $e$.

[hsepec]

To Brukvalub:
А что, нет ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ разницы между "2" и "е"? В смысле "2" это тоже результат какого-то "замечательного предела"? Поделитесь обширными знаниями пределов!

[Brukvalub]

hsepec в сообщении #203907 писал(а):

Так что, выходит, что \int\limits_{n}^{nx}\frac{dx}{x}=ln x? Т.е. "x" не "величина", а "соотношение величин"?!

Рассуждаю аналогично:

\[25 = \frac{{125}}{5}\]

, поэтому 25 - не величина, а отношение величин... это заставляет задуматься и докопаться до сути...
Немного покопавшись, обнаруживаю страшное:

\[ 25 = 5 \cdot 5 = 5^2\]

.
Выходит, что 25 - еще и произведение величин, да и, вдобавок, степень величины!
Мир, только что казавшийся милым и уютным, рушится на глазах! Я в панике!
Приходит спасительная мысль - удалить 25 как неправильную величину, из натурального ряда!

[hsepec]

To ewert:
А если уже есть $y=\frac{1}{x}$. И очень захотелось посчитать площадь интеграла \int\frac{dx}{x}?

[ewert]

hsepec писал(а):

А если уже есть $y=\frac{1}{x}$. И очень захотелось посчитать площадь интеграла \int\frac{dx}{x}?

Площадь интеграла определяется неоднозначно -- она зависит от разрешение экрана и выбранного шрифта.

А если серьёзно -- то надо доказать, что этот интеграл равен логарифму, а тогда уж можно и считать.

[gris]

Ничего себе, компания собралась

Хотел что-то умное вставить...

Мне, например, интересно, имеет ли $e$ какой-нибудь физический смысл в нашей вселенной или это исключительно математическая абстракция?

[Brukvalub]

hsepec в сообщении #203936 писал(а):

И очень захотелось посчитать площадь интеграла\int\frac{dx}{x}?

У интеграла - нулевая площадь, как и у всякой гладкой кривой (если, конечно, не писать интеграл с похмелья дрожащими руками).

[hsepec]

To Brukvalub:

Цитата:

рассуждаю аналогично...(идет РАССУЖДЕНИЕ)

25 - это ЗНАЧЕНИЕ! Это может быть:
1. Количество деревьев.
2. Длина радиуса площади круга.
3. Количество гаек в двигателе.
4. Размер ботинок.
5. Объем стакана в кубических сантиметрах,
и т.д.
Я же задал вполне конкретный вопрос:
"Какая смысловая нагрузка в выражении "$lnx=a$" у переменной "x"?
Не "попытайтесь поразвлечься и пофантазировать, что можно представить в виде буквы латинского алфавита "x", а задал вполне ОПРЕДЕЛЕННЫЙ вопрос!

Добавлено спустя 2 минуты 44 секунды:

To Brukvalub:
Пошло-поехало...Доехало до того, что \int\frac{dx}{x}=0! Да, похоже с перепоя...

[ewert]

hsepec писал(а):

Я же задал вполне конкретный вопрос:
"Какая смысловая нагрузка в выражении "$lnx=a$" у переменной "x"?

Вполне конкретный ответ:
$x$ -- это аргумент функции, которая называется натуральным логарифмом.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

hsepec в сообщении #203940 писал(а):

2. Длина радиуса площади круга.

Лучше говорить "заряд диаметра объёма окружности" -- красивше выйдет.