записать интеграл для этого нестандартного выражения

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый AD!

Поскольку в этой теме речь идет о формуле A=vdt в классическом учебнике высшей математики В.И. Смирнова, то своим эмоциональным заявлением:

Цитата:

Вы пишите бред, и это понимают все

Вы фактически отвергаете ее справедливость. Лично мне тоже приходилось не раз это делать, например http://dxdy.ru/topic3226.html , http://dxdy.ru/topic2233-75.html , http://dxdy.ru/topic2695.html . Поэтому на собственном опыте знаю, как непросто на такое решиться, а еще сложнее доказать свою правоту. Однако, поймите, без веских аргументов подобные заявления никем не воспринимаются всерьез, тем более, если их автор скрывается в маске. Хотя, как педагог, я Вас хорошо понимаю. Для студента подобные голословные заявления могут иметь самые серьезные последствия.

Цитата:

Только почти всем уже надоело давно это объяснять (много вас наплодилось).

Но Вы то лично еще ни разу и не пытались что –то конкретное объяснять по поводу этой формулы! Скажите, пожалуйста, хотя бы что-то по существу, и тогда может возникнуть содержательная дискуссия. Вы же все-таки, вероятно, будущий математик, а сейчас – уже заслуженный участник лучшего, в моем представлении, научного форума Интернета. Неужели Вы не понимаете, что такими голословными публичными заявлениями, основанными только на эмоциях, Вы не укрепляете авторитет форума? И в будущем, когда получите диплом, при подобном обсуждении научных проблем со своими коллегами Вы навсегда потеряете их уважение, и с Вами никто не будет считаться, как со специалистом. Надеюсь, что из моих комментариев Вы сделаете правильные выводы. Поэтому и посвятил Вам это персональное сообщение.

С уважением, Александр Козачок

[ewert]

shwedka в сообщении #202565 писал(а):

При всей Вашей уверенности в правоте, хотелось бы увидеть аргументацию,

в особенности,в отношении слова 'всегда' и в приложении к 'вычислительной математике'

Какая тут может быть аргументация? Просто факт такой.

Ну разве что пример. Допустим, та самая выч. математика уверяет, что якобы краевая задача для ДУ $y''+p(x)y=f(x)$ приближённо описывается трёхдиагональной системой ${1\over h^2}(y_{i+1}-2y_i+y_{i-1})+p_iy_i=f_i$ (бог с ними, с граничными условиями). Так она при этом непременно договаривает, что погрешность есть $O(h^2)$. Ну или $O(h)$, если граничные условия аппроксимируются неаккуратно (или гладкости недостаточно, скажем). А это, между прочим -- предельный переход. В любом случае -- обязательный, иначе это, может, и вычислительная, но не математика.

PAV в сообщении #202538 писал(а):

в общепринятой современной нотации это будет записываться как $df(t)=f'(t)\,dt$, с чем вроде бы никто спорить не собирается. shwedka давно уже говорила, что речь идет о приближенной формуле.

Если говорила, то совершенно напрасно. Это -- точная формула. Приближённой является лишь её лирическая интерпретация.

[PAV]

ewert в сообщении #202722 писал(а):

Приближённой является лишь её лирическая интерпретация.

Насколько я понял цитату из учебника, которая была приведена, то там речь идет именно о приближенном равенстве при "малых значениях смещений". Обозначение $d\cdot$ я тут ввел сам и допустил путаницу с дифференциалами. О них речи не было.

[ewert]

Дело в том, что В.И.Смирнов как преподаватель был связан в первую очередь с физфаком ЛГУ. Потому и употреблял стандартный физический жаргон. Но был он всё же именно математиком. И если позволял себе слова типа "малый промежуток времени, за который приближённо...", то за этим подразумевалась стандартная расшифровка: бесконечно малый (в пределе) промежуток, и степень приближенности -- тем точнее, чем меньше этот промежуток. Короче, обычный предельный переход, просто не называемый по имени за не особой надобностью.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Мне кажется, что все участники после обмена мнениями свою позицию по поводу формулы, казавшейся сначала загадочной и даже бессмысленной, в основном уже сформулировали. Ситуация существенно прояснилась и, если не учитывать оговорок, которые со временем сгладятся или совсем забудутся, то выжимка мнений выглядит так:

bot писал(а):

В приведённой цитате нет ничего, что требовало бы доказательства - это просто обозначение векторного поля…

PAV писал(а):

Теперь все более понятно …Ничего нового или не соответствующего общепринятым представлением пока не наблюдается.

Someone писал(а):

Как я понимаю, речь идёт о формуле

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt\text{.}\eqno{(1)}$$

Я как-то не думал, что придётся пояснять общеизвестные элементарные соотношения математического анализа человеку, изучающему уравнения гидродинамики.

ewert писал(а):

PAV в сообщении #202538 писал(а):

в общепринятой современной нотации это будет записываться как $df(t)=f'(t)\,dt$, с чем вроде бы никто спорить не собирается. shwedka давно уже говорила, что речь идет о приближенной формуле.

Если говорила, то совершенно напрасно. Это -- точная формула. Приближённой является лишь её лирическая интерпретация.

ewert в сообщении #202003 писал(а):

В математике не бывает "малых чисел". Бывают лишь числа, которые больше или меньше чего-то. И если всё же говорят о "малых числах", то это -- лишь полуфизический жаргон, за которым стоит всё та же "бесконечно малая величина". Не более и не менее. Никакого другого точного математического смысла это словосочетание не имеет и в принципе иметь не может.

И даже shwedka, кажется, существенно смягчила свою позицию

shwedka писал(а):

За эти дни много произошло… восхитительного, в частности, с точки зрения гидродинамики.
Александр Козачок
Вам осталось сделать пару вещей.
Во-первых,
сформулировать свое утверждение о замечательной формуле.Просто ее написать--мало.
Так что извольте точную формулировку.

Во-вторых,признать, что безупречное рассуждение Someone доказывает НЕ ВАШУ ФОРМУЛУ. Так что зря радуетесь.

С учетом этой выжимки мнений давайте будем определяться: как представлять точную запись теперь уже не загадочной, а понятной всем формулы для бесконечно малого вектора перемещений? В том виде, как записал В.И. Смирнов, т.е.

$$\vec A=\vec vdt$$

или в виде, как записал ее Someone

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt$$

?

С уважением, Александр Козачок

[PAV]

А это зависит от того, как Вы определите обозначения $dt$ и $\vec A$.

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #203222 писал(а):

для бесконечно малого вектора перемещений

И как следует понимать слова 'бесконечно малый вектор'. Как известно.
автор темы уклоняется от дачи определений.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Александр Козачок в сообщении #203222 писал(а):

С учетом этой выжимки мнений давайте будем определяться: как представлять точную запись теперь уже не загадочной, а понятной всем формулы для бесконечно малого вектора перемещений? В том виде, как записал В.И. Смирнов, т.е.

$$\vec A=\vec vdt$$

или в виде, как записал ее Someone

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt$$

?

PAV писал(а):

А это зависит от того, как Вы определите обозначения $dt$ и $\vec A$.

Но я ведь не являюсь автором ни одной из приведенных записей. К тому же физические определения всем понятны. По поводу формулы В.И. Смирнова

$$\vec A=\vec vdt$$

ewert в сообщении #202722 писал(а):

Это -- точная формула

Someone же записал точную формулу в виде

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt$$

, хотя и оговаривает, что второй член

Цитата:

включает всё, что имеет порядок малости более высокий, чем $\Delta t$; его очень часто записывают просто как $o(\Delta t)$).

Вот с учетом этих суждений и следует Вам, профессиональным математикам, определяться, какая из этих записей с позиций общепринятых соглашений достаточна в качестве точной записи.

С уважением, Александр Козачок

[Someone]

Если определить вектор $\vec A$ равенством $\vec A=\vec vdt$, то это равенство будет точным. Если же определить вектор $\vec A$ как вектор перемещения частицы за время $dt$, то точным будет равенство $\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt$. Хотя в обоих случаях использовано одно и то же обозначение $\vec A$, но речь идёт о разных величинах.
Если определять вектор $\vec A$ как вектор перемещения частицы за время $dt$, то нужно писать $\vec A\approx\vec vdt$.
ewert как раз и говорит о том, что если рассматривать конечный промежуток времени $dt$, то формула будет приближённой, но погрешность, равная $\vec B(dt)dt$, при $dt\to 0$ стремится к нулю быстрее, чем $dt$.

ewert в сообщении #202881 писал(а):

бесконечно малый (в пределе) промежуток, и степень приближенности -- тем точнее, чем меньше этот промежуток

Только он это выражает "на пальцах".

[AD]

Александр Козачок в сообщении #202716 писал(а):

Вы фактически отвергаете ее справедливость.

Не справедливость, а осмысленность.

Александр Козачок в сообщении #202716 писал(а):

Но Вы то лично еще ни разу и не пытались что –то конкретное объяснять по поводу этой формулы!

У меня своих клиентов хватает.

Александр Козачок в сообщении #202716 писал(а):

Однако, поймите, без веских аргументов ...

Слева - функция со значениями в $\mathbb{R}$, справа - в $\mathbb{R}^*$. Нельзя приравнивать репу к географии.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

По тону и содержанию сообщения участника AD видно, что он умеет делать правильные выводы в затруднительных ситуациях. На примере этого обмена мнениями, я надеюсь, что AD или кто-то из его однокурсников, посоветовавшись с опытными педагогами, выберет себе тему дипломной работы о том, как «кажущаяся репа» иногда становится географией.

С уважением, Александр Козачок

[AD]

Понимаете, Александр Козачок, ваше непрерывное психологическое давление на оппонентов (в т.ч. переход на личности в ответ на конкретные математические аргументы, давление "авторитетами") очень напрягает. Мне понятно, что такое математическое рассуждение, и эти ваши разглагольствования совершенно не пашут. Но после такого конструктивного ответа продолжать не хочется.

Так что не жалуйтесь больше, что Вас никто не опровергает, ладно?

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #203578 писал(а):

следует Вам, профессиональным математикам, определяться, какая из этих записей с позиций общепринятых соглашений достаточна в качестве точной записи.

Автор, в своем обычном стиле, уклоняется от ответа на вопросы.
Повторяю. Вы открыли обсуждение, заявив формулу. Ваша обязанность дать ей точное значение, то есть формулировку, с об'яснением, что стоит за каждым использованным символом. А потом доказать.

Именно, что ВЫ имеете в виду под каждым символом, а не предладать другим формулу об"яснять.

Я прошу об этом в ЧЕТВЕРТЫЙ раз прошу.
Предсказываю.. Александр Козачок
в очередной раз от дачи формулировки уклонится.

[ewert]

shwedka в сообщении #204060 писал(а):

Предсказываю..

"Долго Троя в положении осадном..."

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

На поставленный вопрос

Александр Козачок в сообщении #203222 писал(а):

…как представлять точную запись теперь уже не загадочной, а понятной всем формулы для бесконечно малого вектора перемещений?...

фактически имеются такие ответы:

ewert в сообщении #202722 писал(а):

Это – (автор, вполне очевидно, имеет в виду$\vec A=\vec vdt$) точная формула. Приближённой является лишь её лирическая интерпретация.

Someone в сообщении #203584 писал(а):

Если определить вектор $\vec A$ равенством $\vec A=\vec vdt$, то это равенство будет точным… Если определять вектор $\vec A$ как вектор перемещения частицы за время $dt$, то нужно писать $\vec A\approx\vec vdt$.
ewert как раз и говорит о том, что если рассматривать конечный промежуток времени $dt$, то формула будет приближённой, но погрешность, равная $\vec B(dt)dt$, при $dt\to 0$ стремится к нулю быстрее, чем $dt$.

PAV в сообщении #203226 писал(а):

А это зависит от того, как Вы определите обозначения $dt$ и $\vec A$.

Похоже, что утверждение PAV в сжатой форме совпадает с тем, что подробно объяснил Someone . А вот позиция Someone , как следует из его же разъяснения

Someone в сообщении #203584 писал(а):

ewert в сообщении #202881 писал(а):

бесконечно малый (в пределе) промежуток, и степень приближенности -- тем точнее, чем меньше этот промежуток…

вытекает из того, что ewert

Цитата:

…выражает "на пальцах"

И даже bot изменил свою позицию на полярную, т.е. фактически подтвердил те утверждения Someone, которые касаются ситуации, когда равенство следует считать приближенным

bot в сообщении #202516 писал(а):

В приведённой цитате нет ничего, что требовало бы доказательства - это просто обозначение векторного поля. В каждой точке считаем вектор скорости $v=\dot{r}$, умножаем его на фиксированную константу $dt$… так что при достаточно малом $dt$ и будет давать приближённую картину последнего, о чём и говорит В.И.Смирнов.

Таким образом, если исходить из точной записи $\vec A=\vec vdt$, то вполне очевидно, что выражение

\[ \operatorname{div} \vec A = (\operatorname{div} \vec v)dt \]

с позиций общепринятых соглашений тоже будет точным.
Для удобства загрузки уже готовых формул перейдем к прежним обозначениям. Тогда последняя формула примет вид

\[ \operatorname{div} \vec u = (\operatorname{div} \dot \vec u)dt\]

, т.е.

\[ \vec u = \vec A,_{} \dot \vec u = v\]

А теперь вспомним из курсов векторного анализа и гидродинамики, что

\[ \operatorname{div} \dot \vec u\]

соответствует скорости относительного изменения элементарного объема деформируемой сплошной среды, а именно:

\[ \operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1} {{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}} {{dt}} \Rightarrow (\operatorname{div} \dot \vec u)dt = \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} \Rightarrow \operatorname{div} \vec u = \frac{{d(\delta V)}} {{\delta V}} \]

Последняя в этом ряду формула в курсах ВМ и теории упругости доказывается другими способами.
Так вот, если среда несжимаемая, то элементарный объем

\[ \delta V \]

(как и весь объем) остается неизменным по величине, т.е. не зависит от времени. В таком случае правая часть этих формул равна нулю. Поэтому и левые части

\[ \operatorname{div} \dot \vec u = 0,_{} \operatorname{div} \vec u = 0 \]

с вытекающими отсюда последствиями.
Изложение вывода этих, имеющихся в учебниках, формул приведены так подробно с целью предотвратить возобновление известной Вам всем дискуссии, о которой напомнил Someone

Someone в сообщении #202310 писал(а):

Если я правильно помню, от Вас требуется доказательство формулы $\mathop{\mathrm{div}}\vec A=0$ при условии $\mathop{\mathrm{div}}\vec v=0$.

Надеюсь, что в дальнейшем мой глубокоуважаемый оппонент shwedka ввиду отсутствия потребности этот вопрос поднимать уже не будет.
И в завершение этого сообщения. Поскольку из названия темы все-таки следует задача

Цитата:

записать интеграл для этого нестандартного выражения

то прежде, чем мы ею займемся, мне бы хотелось, чтобы участники обсуждения прокомментировали изложенное.

С уважением, Александр Козачок