Существует ли...

[AD]

Ну дальше надо доказывать, что $\mathcal{P}([0,+\infty))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$. Берем биекцию между $[0,+\infty)$ и $\mathbb{R}$, и понятно как через нее прогонять подмножества.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

AD писал(а):

$\mathcal{P}(\mathbb{R})\sim\mathcal{P}((-\infty,0))\times\mathcal{P}([0,\infty))$?

А почему это так?

Бр-р-р, туплю. Это очевидно. Снимаю вопрос.

Ладно, допустим, это так. А что дальше?

Опять туплю. Понятно, что дальше.

Ладно, что у нас получается... Пусть $X_0 = \mathbb{N}$, $X_{n+1} = \mathcal{P}(X_n)$ и $X = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} X_n$. Как строить биекцию между $X^2$ и $X$?

[AD]

Ладно, я подумаю еще

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Ладно, я подумаю еще

Ага. Я тож спать пошёл. Второй час ночи в Новосибирске

[Лиля]

AD в сообщении #203542 писал(а):

Ну дальше надо доказывать, что $\mathcal{P}([0,+\infty))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$. Берем биекцию между $[0,+\infty)$ и $\mathbb{R}$, и понятно как через нее прогонять подмножества.

$\mathcal{P}((-\infty,0))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -понятно
а
$\mathcal{P}([0,+\infty))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -не понятно

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #203491 писал(а):

А если всё-таки обратиться к конструктивным действительным числам... Есть ли там вообще базис в конструктивистском смысле?

Перечислимого базиса точно нет, потому что наличие перечислимого базиса позволило бы перечислить все КДЧ, а их перечислить нельзя. Но, вообще-то, равенство двух КДЧ алгоритмически нераспознаваемо, поэтому тут всякие нюансы возникают уже в определении базиса.

Руст в сообщении #203502 писал(а):

Без аксиомы выбора сами действительные числа уже нечто другое. О существовании базиса можно утверждать только основываясь на этой аксиоме, или эквивалентных ей утверждениях.
Вообще то я тут не спец. Может Someone лучше прояснит суть дела.

Я очень мало что знаю о математике без аксиомы выбора. Думаю, что доказать существование базиса без аксиомы выбора не удастся.

Профессор Снэйп в сообщении #203506 писал(а):

Да не, вроде то же самое. Дедекиндовы сечения или бесконечные десятичные дроби аксиому выбора не привлекают.

Я только боюсь, что метод сечений даст одно множество действительных чисел, а метод десятичных дробей или фундаментальных последовательностей - другое. Точно не знаю. Однако известно, что без аксиомы выбора определения предела функции по Коши и по Гейне не эквивалентны, а тут, мне кажется, какое-то сходство есть.

AD в сообщении #203530 писал(а):

а Вы знаете хоть одно бесконечное множество $A$, для которого биекцию $A^2$ c $A$ не понятно как строить?

Есть два определения бесконечного множества:
1) множество называется бесконечным по Дедекинду, если оно равномощно собственному подмножеству (собственному - значит, не совпадающему со всем множеством);
2) множество называется бесконечным, если оно не равномощно никакому натуральному числу (имеется в виду стандартная модель натуральных чисел, которая строится в теории множеств и не зависит от аксиомы выбора).
Без аксиомы выбора эти определения, вообще говоря, не эквивалентны, и могут появиться множества, конечные в смысле Дедекинда, но бесконечные в смысле второго определения.
Если $A$ - такое множество, то $A^2$ не равномощно $A$ (очевидно, что в этом случае $|A^2|>|A|$).

Профессор Снэйп в сообщении #203531 писал(а):

В ответ на это я всего лишь заметил, что если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

Что-то я не вижу, как, пользуясь десятичными дробями, из одного сечения сделать два. Может быть, Вы поясните подробнее?

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

Лиля в сообщении #203564 писал(а):

$\mathcal{P}([0,+\infty))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -не понятно

Ну спрячьте $0$ внутрь: $0\to 1\to 2\to 3\to\ldots$.

[RIP]

В книжке Hrbacek K., Jech T. — Introduction to Set Theory написано, что существование базиса $\mathbb R_{\mathbb Q}$ недоказуемо в ZF, но без доказательства и ссылок.

[AD]

Лиля писал(а):

$\mathcal{P}([0,+\infty))\sim\mathcal{P}(\mathbb{R})$ -не понятно

Я это так умею. Берем $\mathbb{N}_0\leftrightarrow\mathbb{N}_0$, и остаются две последовательности интервалов.
$\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup\{0\}$.

Добавлено спустя 2 минуты 54 секунды:

Мне вот еще что интересно. Правда, оффтопю я тут, конечно ...

Профессор Снэйп писал(а):

Кутверждение о том, что $|A^2|=|A|$ для любого бесконечного $A$, эквивалентно аксиоме выбора.

Можно ли, повозившись с этим доказательством, из умения строить биекцию $A$ и $A^2$ при маломощных $A$ вывести аксиому выбора для маломощных множеств?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Мне вот еще что интересно. Правда, оффтопю я тут, конечно ...

Профессор Снэйп писал(а):

Кутверждение о том, что $|A^2|=|A|$ для любого бесконечного $A$, эквивалентно аксиоме выбора.

Можно ли, повозившись с этим доказательством, из умения строить биекцию $A$ и $A^2$ при маломощных $A$ вывести аксиому выбора для маломощных множеств?

Я уже думал вчера про это. Доказательство с ходу не помню, а посмотреть пока времени не было. Вечерком посмотрю.

Хотя нет, половину доказательства помню (как из аксиомы выбора следует $|A^2| = |A|$ для всех бесконечных $A$). Она опирается на теорему Цермело (которая, как известно, эквивалентна аксиоме выбора). Берём вполне упорядочение $A$ наименьшего порядкового типа, по нему строим на $A^2$ вполне упорядочение и доказываем, что каждый собственный начальный сегмент в нём имеет мощность, меньшую чем $A$. Отсюда заключаем всё, что нужно.

Но я не вижу, что можно из этого выжать. Вот, например, совершенно непонятно, как вполне упорядочить $\mathbb{R}$. Но биекция между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ строится без проблем.

Нужно в обратную сторону доказательство смотреть (как из равенства $|A^2|=|A|$ для всех бесконечных $A$ следует аксиома выбора).

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Someone писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #203531 писал(а):

В ответ на это я всего лишь заметил, что если задавать действительные числа через дедекиндовы сечения, то нужная биекция также строится тривиально (через сведение к случаю десятичных дробей).

Что-то я не вижу, как, пользуясь десятичными дробями, из одного сечения сделать два. Может быть, Вы поясните подробнее?

Ну, по сечению легко строится бесконечная десятичная дробь, а по бесконечной десятичной дроби легко строится сечение. Переходим от двух сечений к двум бесконечным дробям, "смешиваем" их, а затем от полученной "смешанной" дроби снова переходим к сечению (я строю биекцию из $\mathbb{R}^2$ на $\mathbb{R}$).

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #203614 писал(а):

Ну, по сечению легко строится бесконечная десятичная дробь

Только сейчас догадался, как. Нужно в нижнем классе сечения для каждого $k\in\mathbb N$ взять наибольшее число вида $\frac m{10^k}$. Я вчера почему-то опасался, что тут может вылезть аксиома выбора. Тогда вот это своё опасение снимаю:

Someone в сообщении #203577 писал(а):

боюсь, что метод сечений даст одно множество действительных чисел, а метод десятичных дробей или фундаментальных последовательностей - другое.

[epros]

Someone писал(а):

... позволило бы перечислить все КДЧ, а их перечислить нельзя

В метатеории можно перечислить все КДЧ, определённые теорией: своего рода аналог теоремы Левенхейма-Сколема. Но в самой теории, естественно, перечислить свои КДЧ невозможно.

Это так, попутное замечание.

[ewert]

Someone в сообщении #203619 писал(а):

Только сейчас догадался, как.

Таким образом, каждое сечение порождает бесконечную десятичную дробь. Последняя, в свою очередь, тривиальным способом порождает фундаментальную последовательность. Наконец, фундаментальная последовательность порождает сечение по правилу: любое рациональное число, если оно не является пределом этой последовательности, оказывается либо левее, либо правее всех членов последовательности, начиная с некоторого номера. И остаётся лишь проверить, что сечения на входе и на выходе этой цепочки -- одни и те же.

[Someone]

epros в сообщении #203626 писал(а):

В метатеории можно перечислить все КДЧ, определённые теорией

А что у Вас является метатеорией?

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

epros в сообщении #203626 писал(а):

В метатеории можно перечислить все КДЧ, определённые теорией

А что у Вас является метатеорией?

У меня это сообщение epros тоже вызвало недоумение. Я не только про "метатеорию", но и про "теорию" ничего не понял.

КДЧ, насколько я понимаю, задаются через описания алгоритмов, порождающих последовательности рациональных чисел с эффективно заданной скоростью сходимости. Описания этих алгоритмов не в "теории", не в "метатеории" перечислить не удастся, что бы под этими "теориями" и "метатеориями" ни понималось. Ну разве что "перечисление" понимать каким-то нестандартным образом.

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

Someone писал(а):

Только сейчас догадался, как. Нужно в нижнем классе сечения для каждого $k\in\mathbb N$ взять наибольшее число вида $\frac m{10^k}$. Я вчера почему-то опасался, что тут может вылезть аксиома выбора. Тогда вот это своё опасение снимаю.

Ага. Если есть формализуемый критерий выбора, то аксиома выбора не нужна. Она требуется лишь тогда, когда в ZF нельзя записать условие, производящее выбор. А при каждом фиксированном $k$ понятие "быть наибольшим числом вида $m/10^k$, принадлежащим сечению", формализуемо в ZF.

Добавлено спустя 20 минут 12 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Нужно в обратную сторону доказательство смотреть (как из равенства $|A^2|=|A|$ для всех бесконечных $A$ следует аксиома выбора).

Вроде нашёл доказательство в учебнике Ершова и Палютина.

Там из равенства $|A^2| = |A|$ доказывается теорема Цермело, ну а из неё аксиома выбора уже следует достаточно тривиальным образом. В доказательстве вполне упорядочивается произвольное бесконечное (не по Дедекинду, а такое, которое не равномощно натуральному числу) множество $B$. При этом используется равенство $|A^2|=|A|$ для некоторых бесконечных $A \subseteq B$.

Как получить отсюда что-то полезное по интересующему нас вопросу (построение бесконечного $A$ со свойством $|A^2| \neq |A|$ достаточно "малой" мощности), пока не вижу. Да ну и... Я там несколько выше определял последовательность $X_0 = \mathbb{N}$, $X_{n+1} = \mathcal{P}(X_n)$. Ясно, что если верна ОКГ, то для любого бесконечного $A$, такого что $|A| \leqslant |X_n|$ при некотором $n \in \mathbb{N}$, равенство $|A^2| = |A|$ тоже верно. Про то, есть ли какая-нибудь зависимость между ОКГ и аксиомой выбора я, к сожалению, ничего не знаю.

[Someone]

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Глава VIII, § 6, и глава IX, § 6.

В главе VIII доказано, что следующие утверждения арифметики бесконечных кардинальных чисел эквивалентны аксиоме выбора:

$$\text{1) }(\mathfrak m\leqslant\mathfrak n)\vee(\mathfrak n\leqslant\mathfrak m)\text{;}$$

$$\text{2) }\mathfrak m^2=\mathfrak m\text{;}$$

$$\text{3) }(\mathfrak m\cdot\mathfrak n=\mathfrak m+\mathfrak n=\mathfrak m)\vee(\mathfrak m\cdot\mathfrak n=\mathfrak m+\mathfrak n=\mathfrak n)\text{;}$$

$$\text{4) }(\mathfrak m^2=\mathfrak n^2)\Rightarrow(\mathfrak m=\mathfrak n)\text{;}$$

$$\text{5) }((\mathfrak m<\mathfrak n)\wedge(\mathfrak p<\mathfrak q))\Rightarrow(\mathfrak m+\mathfrak p<\mathfrak n+\mathfrak q)\text{;}$$

$$\text{6) }((\mathfrak m<\mathfrak n)\wedge(\mathfrak p<\mathfrak q))\Rightarrow(\mathfrak m\cdot\mathfrak p<\mathfrak n\cdot\mathfrak q)\text{;}$$

$$\text{7) }(\mathfrak m+\mathfrak p<\mathfrak n+\mathfrak p)\Rightarrow(\mathfrak m<\mathfrak n)\text{;}$$

$$\text{8) }(\mathfrak m\cdot\mathfrak p<\mathfrak n\cdot\mathfrak p)\Rightarrow(\mathfrak m<\mathfrak n)\text{.}$$

Под обобщённой континуум-гипотезой иногда понимают разные утверждения. В книге Куратовского и Мостовского используется такой подход.
В главе VIII, § 7, определяется степенная иерархия кардинальных чисел. Сначала индуктивно определяются множества $R_0=\varnothing$, $R_{\alpha+1}=2^{R_{\alpha}}$, $R_{\lambda}=\bigcup\limits_{\xi<\lambda}R_{\xi}$ для предельного ординала $\lambda$. Затем определяются кардиналы $\mathfrak a_{\xi}=\left|R_{\omega_0+\xi}\right|$.
Алефами называются мощности вполне упорядоченных бесконечных множеств. Они также нумеруются всеми ординалами в порядке возрастания. Легко видеть, что $\mathfrak a_0=\aleph_0$.
В главе IX, § 6, обобщённой континуум-гипотезой называется утверждение

$$\mathfrak a_{\alpha}=\aleph_{\alpha}\text{ \textit{для любого ординала} }\alpha\text{.}\eqno{(H)}$$

Сразу же доказывается, что при наличии аксиомы выбора утверждение $(H)$ равносильно утверждению

$$\begin{array}{l}\text{\textit{если} }\mathfrak m\text{ -- \textit{бесконечное кардинальное число, то не существует кар-}}\\ \text{\textit{динального числа} }\mathfrak z\text{\textit{, удовлетворяюшего неравенству} }\mathfrak m<\mathfrak z<\mathfrak 2^{\mathfrak m}\text{.}\end{array}\eqno{(C)}$$

В конце этого параграфа доказывается, что из утверждения $(C)$ следует аксиома выбора.

П.Дж.Коэн (Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969) в главе II, § 4, называет обобщённой континуум-гипотезой утверждение $2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}$, равносильное утверждениям $(H)$ и $(C)$ при наличии аксиомы выбора, а в главе IV, § 12, где речь идёт о выводе аксиомы выбора из обобщённой континуум-гипотезы, обобщённая континуум-гипотеза формулируется как утверждение $(C)$.

Добавлено спустя 29 минут 44 секунды:

Профессор Снэйп в сообщении #203897 писал(а):

Как получить отсюда что-то полезное по интересующему нас вопросу (построение бесконечного $A$ со свойством $|A^2| \neq |A|$ достаточно "малой" мощности), пока не вижу.

Вообще-то, я не вижу, как можно "явно" построить множество, существование которого зависит от того, какие аксиомы мы принимаем. Если ограничиваться конструктивными множествами, то для них будут выполняться все аксиомы ZFC, включая аксиому выбора, а также обобщённая континуум-гипотеза. Даже если учесть, что при определении конструктивных множеств допускаются не все определения множеств, которые можно записать в ZF, всё равно мало шансов "явно" определить множество, которое нарушает аксиому выбора. Нужно смотреть, как строятся модели теории множеств, в которых аксиома выбора нарушается.