Теория групп, прогруппа содержит все элементы беск. порядка

[T-Mac]

Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.
Доказать что G=H
Незнаю даже с чего начать ...

[Лиля]

T-Mac в сообщении #202561 писал(а):

Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.

из того что каждый элемент $G$ принадлежит $H$ следует что $G\subset H$ а так как $H\subset G$ то $H=G$

[T-Mac]

не каждый элемент, а каждый элемент имеющий бесконечный порядок

[Brukvalub]

T-Mac в сообщении #202561 писал(а):

Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.
Доказать что G=H
Незнаю даже с чего начать ...

Рассмотрим конечную циклическую группу (скажем, группу вычетов по модулю 7) - она абелева, и ее подгруппу, образованную единичным элементом.
Для такой группы и указанной подгруппы условие теоремы выполняется, а заключение - нет

[T-Mac]

но еденичный элемент не имеет бесконечного порядка...

[Хорхе]

T-Mac писал(а):

но еденичный элемент не имеет бесконечного порядка...

Ну и что? Всяко $\varnothing \subset H$.

[Профессор Снэйп]

Вероятно, к условию задачи надо ещё добавить утверждение о том, что группа $G$ содержит элементы, имеющие бесконечный порядок.

С таким добавлением задача вполне осмысленна и решается довольно просто. Рассмотрите элемент бесконечного порядка $h \in H$, произвольный элемент $g \in G \setminus H$, докажите, что $g + h \in H$ и получите противоречие.

[T-Mac]

не совсем понял как дальше....

[Профессор Снэйп]

T-Mac писал(а):

не совсем понял как дальше....

С какого момента дальше?

[T-Mac]

ну взяли g из G\H и h из H смотрим g+h, дальше нужно как то док-ть что этот элимент из Н, но как я мало представляю..

[Профессор Снэйп]

T-Mac писал(а):

дальше нужно как то док-ть что этот элимент из Н, но как я мало представляю..

Докажите, что этот элемент имеет бесконечный порядок.

[T-Mac]

а как это сделать?

[Dan B-Yallay]

T-Mac писал(а):

а как это сделать?

У вас группа абелева. то есть (если считать что она аддитивная)

$$g+h=h+g$$

Предположим, что порядок элемента $g+h$ конечен. Как вы запишите это утверждение в символьной форме?

[T-Mac]

Предположим, что порядок элемента $g+h$ конечен, тогда cуществует $m$, такое что $(g+h)^m = e$

[Dan B-Yallay]

Так все-таки у вас группа по сложению или умножению? если аддитивная - то

$$m(g+h)=...$$

,

a если мультипликативная - то

$$(g \cdot h)^m=...$$

.

Давайте все-таки выберем что-нибудь одно. Пусть будет группа по умножению. Тогда имеем

$$1) \quad g\cdot h = h \cdot g, \hspace{50pt} 2) \quad (g \cdot h)^m = e$$

А теперь, с учетом пункта 1) перепишите пункт 2) в измененном виде.