2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Теория групп, прогруппа содержит все элементы беск. порядка
Сообщение06.04.2009, 16:12 
Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.
Доказать что G=H
Незнаю даже с чего начать ...

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 16:49 
Аватара пользователя
T-Mac в сообщении #202561 писал(а):
Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.

из того что каждый элемент $G$ принадлежит $H$ следует что $G\subset H$ а так как $H\subset G$ то $H=G$ :roll:

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 16:50 
не каждый элемент, а каждый элемент имеющий бесконечный порядок

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 17:00 
Аватара пользователя
T-Mac в сообщении #202561 писал(а):
Дана абелева группа G, каждый ее элимент имеющий бесконечный порядок принадлежит подгруппе H.
Доказать что G=H
Незнаю даже с чего начать ...
Рассмотрим конечную циклическую группу (скажем, группу вычетов по модулю 7) - она абелева, и ее подгруппу, образованную единичным элементом.
Для такой группы и указанной подгруппы условие теоремы выполняется, а заключение - нет :shock:

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 17:19 
но еденичный элемент не имеет бесконечного порядка...

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 17:25 
Аватара пользователя
T-Mac писал(а):
но еденичный элемент не имеет бесконечного порядка...

Ну и что? Всяко $\varnothing \subset H$.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 17:49 
Аватара пользователя
Вероятно, к условию задачи надо ещё добавить утверждение о том, что группа $G$ содержит элементы, имеющие бесконечный порядок.

С таким добавлением задача вполне осмысленна и решается довольно просто. Рассмотрите элемент бесконечного порядка $h \in H$, произвольный элемент $g \in G \setminus H$, докажите, что $g + h \in H$ и получите противоречие.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 22:04 
не совсем понял как дальше....

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 22:05 
Аватара пользователя
T-Mac писал(а):
не совсем понял как дальше....


С какого момента дальше?

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 22:22 
ну взяли g из G\H и h из H смотрим g+h, дальше нужно как то док-ть что этот элимент из Н, но как я мало представляю..

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 22:36 
Аватара пользователя
T-Mac писал(а):
дальше нужно как то док-ть что этот элимент из Н, но как я мало представляю..


Докажите, что этот элемент имеет бесконечный порядок.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2009, 23:26 
а как это сделать?

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 00:37 
Аватара пользователя
T-Mac писал(а):
а как это сделать?


У вас группа абелева. то есть (если считать что она аддитивная)
$$g+h=h+g$$
Предположим, что порядок элемента $g+h$ конечен. Как вы запишите это утверждение в символьной форме?

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 20:56 
Предположим, что порядок элемента $g+h$ конечен, тогда cуществует $m$, такое что $(g+h)^m = e$

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 22:57 
Аватара пользователя
Так все-таки у вас группа по сложению или умножению? если аддитивная - то

$$m(g+h)=...$$,

a если мультипликативная - то

$$(g \cdot h)^m=...$$.

Давайте все-таки выберем что-нибудь одно. Пусть будет группа по умножению. Тогда имеем

$$1) \quad g\cdot h = h \cdot g, \hspace{50pt}  2) \quad (g \cdot h)^m = e$$

А теперь, с учетом пункта 1) перепишите пункт 2) в измененном виде.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group