Квадратура круга

[Виктор Ширшов]

Выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой проблемы в 1882 году, когда немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число ∏ трансцендентно, т. е. не может быть выражено конечным числом цифр. Из этого следует, что с числом ∏ невозможно производить точных математических исчислений, а значит, и нельзя с помощью циркуля и линейки построить квадратуру круга.
«Отрицательное» доказательство Линдемана не остановило и не останавливает не только любителей, но даже научных авторитетов, верящих в разрешимость проблемной задачи. Вот что писал по этому поводу французский астроном Араго: «Искатели квадратуры круга продолжают заниматься решением задачи, невозможность которого ныне положительно доказана и которое, если бы даже и могло осуществиться, не представило бы никакого практического интереса. Не стоит распространяться об этом предмете: больные разумом, стремящиеся к открытию квадратуры круга, не поддаются никаким доводам. Эта умственная болезнь существует с древнейших времён». И иронически добавил: «Академии всех стран, борясь против искателей квадратуры, заметили, что болезнь эта обычно усиливается к весне».

Математическое решение задачи о квадратуре круга
Площадь круга равна ${\pi}R^2$. Примем площадь квадратуры круга равной этому же. Отсюда сторона равновеликого квадрата равна $\sqrt\pi R$, а его диагональ $\sqrt2\pi R$ или 2,5066 R. Отношение диагонали квадратуры круга к диаметру данного круга, равное 1.2533 - коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех кругов. Приближённое значение коэффициента с точностью до 0.01 равно 1.25. Эта десятичная дробь соответствует рациональному числу 5/4 (или 4/5).

Древние египтяне считали, что сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра данного круга и отсюда получали площадь квадратуры круга с точностью 0.6% в сторону её увеличения по отношению к площади круга.
Полученный коэффициент пропорциональности 4/5 есть также отношение между радиусом данного круга и полудиагональю равновеликого квадрата. Математические расчёты показывают, что в нашем случае точность уже 0,53% в сторону уменьшения площади квадратуры круга. Точность довольно высокая, вполне устраивающая практические нужды древних архитекторов.

Геометрическое решение задачи.
1.На чистом листе бумаги произвольным раствором циркуля очерчиваем круг.
2. Через центр круга - точку 0 с помощью линейки проводим прямую линию, несколько выходящую за границу круга. Обозначим эту прямую буквой α; одну из точек пересечения прямой α с кругом, обозначим буквой А. Отрезок ОА, прямой α равен радиусу круга.
3. С помощью циркуля и линейки через центр круга построим другую прямую линию, перпендикулярную прямой α, которая также выходит за границу круга; обозначим эту прямую буквой α₁.
4. В четверти круга, соседствующей с отрезком ОА, через точку 0 под острым углом (удобно при дальнейших геометрических построениях) к прямой α проводим прямую b, которая выходит за границу круга. Прямые α и b являются сторонами острого угла.
5. Из точки 0 на прямой b циркулем последовательным образом откладываем 5 равных отрезков произвольной длины и обозначаем концы четвёртого и пятого отрезков соответственно буквами В и В₁. Очевидно, что отрезок ОВ состоит из четырёх равных отрезков ВВ₁, а отрезок ОВ₁ из пяти отрезков ВВ₁;
6. С помощью линейки соединим точку А с точкой В.
7. Через точку В₁ по «правилу параллелограмма» проведём прямую, параллельную отрезку АВ, которая пересекает прямую α в точке А₁.
8. Из центральной точки круга раствором циркуля, равным ОА₁, откладываем такие же отрезки на трёх других перпендикулярных полупрямых и обозначаем точки пересечения буквами D, C и E .
9. Наконец, концы всех четырёх отрезков - ОА₁, ОD, OC и OE последовательным образом соединяем и получаем искомый квадрат А₁DCE, площадь которого равна площади данного круга.

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #202262 писал(а):

немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число ∏ трансцендентно, т. е. не может быть выражено конечным числом цифр. Из этого следует, что с числом ∏ невозможно производить точных математических исчислений, а значит, и нельзя с помощью циркуля и линейки построить квадратуру круга.

Кто сколько ошибок нашел?

[Xaositect]

AD в сообщении #202266 писал(а):

Кто сколько ошибок нашел?

4 в терминологии и определениях.
Порядок следования утвердений вообще поражает.

[Brukvalub]

Мне вот этот перл понравился:

Виктор Ширшов в сообщении #202262 писал(а):

2. Через центр круга - точку 0 с помощью линейки проводим прямую линию, несколько выходящую за границу круга.

[gris]

Мне очень понравилось, что чертить надо на чистом листе бумаги. Я бы ещё протёр все инструменты спиртом.

Вдохновлённый идеей Виктор Ширшова о делении отрезка циркулем и линейкой в заданном отношении, почёрпнутой, я думаю, у Фалеса, я решил предложить уточнённый метод.

Очертим круг, благословясь. Проведём из центра один луч выходящий примерно на длину радиуса за пределы круга, а под острым углом к нему второй луч, значительно выходящий за пределы круга. Отложим на втором луче 177245 одинаковых отрезка. Конец 100000-го отрезка соединим с точкой пересечения первого луча с окружностью. Параллельно получившемуся отрезку методом параллелограмма проведём прямую через конец последнего отрезка на втором луче. Точка её пересечения с первым лучом даст расстояние от центра круга, равное стороне равновеликого квадрата с точностью, устраивающей нужды современныз архитекторов.

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #202311 писал(а):

Точка её пересечения с первым лучом даст расстояние от центра круга, равное стороне равновеликого квадрата с точностью, устраивающей нужды современныз архитекторов.

Не знаю, как для современных архитекторов, а для античных, задача могла иметь практическое значение. Древние строители часто строили колонны, иногда чередовали колонны с круглым и квадратным основаниями. Чтобы нагрузка на них была одинаковой, нужно было ставить колонны с одинаковым поперечным сечением.

Можно несерьёзно относиться к данной задаче. Но она очень полезна для проветривания мозгов, особенно тем, кто занимакется сложными матрасчётами.

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #202319 писал(а):

Но она очень полезна для проветривания мозгов, особенно тем, кто занимакется сложными матрасчётами.

Тем, у кого есть, что проветривать, и своих задачек хватает (тем более что после Линдемана эта, фактически, не поставлена). А у кого нечего -

Виктор Ширшов в сообщении #202262 писал(а):

болезнь эта обычно усиливается к весне

$\boxed{\text{Труъ}}$

[Виктор Ширшов]

AD в сообщении #202266 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #202262 писал(а):
немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число ∏ трансцендентно, т. е. не может быть выражено конечным числом цифр. Из этого следует, что с числом ∏ невозможно производить точных математических исчислений, а значит, и нельзя с помощью циркуля и линейки построить квадратуру круга.
Кто сколько ошибок нашел?

У многих из Вас в одном слове бывает по несколько ошибок.

Для участника под ником "AD" второе предложение следует читать следующим образом:" Из этого он заключил, что ..."

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #202325 писал(а):

У многих из Вас в одном слове бывает по несколько ошибок.

Меня действительно так много? У Вас в глазах не двоится после квадратуры круга?

[Виктор Ширшов]

AD в сообщении #202323 писал(а):

Тем, у кого есть, что проветривать, и своих задачек хватает (тем более что после Линдемана эта, фактически, не поставлена).

Условие: Есть круг произвольного радиуса. С помощью циркуля и линейки нужно построить равновеликий квадрат.

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #202331 писал(а):

Условие: Есть круг произвольного радиуса. С помощью циркуля и линейки нужно построить равновеликий квадрат.

Сами же только что написали, что это невозможно (правда, при этом дописав от себя кучу бреда). Так что вы решаете совсем не эту задачу (либо в вашем тексте не содержится ее решения, а лишь бред, что гораздо более вероятно).

[Brukvalub]

Виктор Ширшов в сообщении #202331 писал(а):

Условие: Есть круг произвольного радиуса. С помощью циркуля и линейки нужно построить равновеликий квадрат.

Предлагаю упрощенное решение: так как $3 < \pi < 4$, то, не сильно ошибаясь, положим $\pi \approx 4$ и тогда просто удвоим радиус окружности для получения стороны квадрата, а уж удвоение отрезка может сделать даже первоклассник.
Решение ничем не хуже, чем у Виктор Ширшова, а возни меньше, да и грифель не так сотрется.

[gris]

Виктор Ширшов, никто не спорит, что в истории математики много интересных случаев, иногда курьёзных. Интересно узнать о любопытных красивых приближениях известных чисел (для меня, например, это

$$\pi\approx \frac{355}{113}$$

).
Но зачем расписывать на полстраницы тривиальнейшую процедуру построения, доступную ученику 8-го класса?
Зачем писать

Виктор Ширшов писал(а):

Приближённое значение коэффициента с точностью до 0.01 равно 1.25. Эта десятичная дробь соответствует рациональному числу 5/4 (или 4/5).

Вы что, не можете перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Вот такие ошибки значительно снижают ценность Ваших иногда очень интересных сообщений.

[Виктор Ширшов]

AD в сообщении #202333 писал(а):

что это невозможно (правда, при этом дописав от себя кучу бреда).

Что невозможно построить квадратуру круга "ДОКАЗАЛ" Линдеман, я же, вопреки его утверждению, её построил. Наверное, и греки это умели, ведь недаром у них появились такие теоремы: теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

gris в сообщении #202337 писал(а):

Вы что, не можете перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Это для того, чтобы не возникало лишних вопросов: а почему, да как?

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #202340 писал(а):

Что невозможно построить квадратуру круга "ДОКАЗАЛ" Линдеман, я же, вопреки его утверждению, её построил.

А я теорему Линдемана--Вейерштрасса знаю и доказывал на экзамене. Так что, чуствую, Вам снова придется отвечать Prorabу на вопрос, из какого дурдома Вы сбежали.