Выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой проблемы в 1882 году, когда немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число ∏ трансцендентно, т. е. не может быть выражено конечным числом цифр. Из этого следует, что с числом ∏ невозможно производить точных математических исчислений, а значит, и нельзя с помощью циркуля и линейки построить квадратуру круга.
«Отрицательное» доказательство Линдемана не остановило и не останавливает не только любителей, но даже научных авторитетов, верящих в разрешимость проблемной задачи. Вот что писал по этому поводу французский астроном Араго: «Искатели квадратуры круга продолжают заниматься решением задачи, невозможность которого ныне положительно доказана и которое, если бы даже и могло осуществиться, не представило бы никакого практического интереса. Не стоит распространяться об этом предмете: больные разумом, стремящиеся к открытию квадратуры круга, не поддаются никаким доводам. Эта умственная болезнь существует с древнейших времён». И иронически добавил: «Академии всех стран, борясь против искателей квадратуры, заметили, что болезнь эта обычно усиливается к весне».
Математическое решение задачи о квадратуре круга
Площадь круга равна
. Примем площадь квадратуры круга равной этому же. Отсюда сторона равновеликого квадрата равна
, а его диагональ
или 2,5066 R. Отношение диагонали квадратуры круга к диаметру данного круга, равное 1.2533 - коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех кругов. Приближённое значение коэффициента с точностью до 0.01 равно 1.25. Эта десятичная дробь соответствует рациональному числу 5/4 (или 4/5).
Древние египтяне считали, что сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра данного круга и отсюда получали площадь квадратуры круга с точностью 0.6% в сторону её увеличения по отношению к площади круга.
Полученный коэффициент пропорциональности 4/5 есть также отношение между радиусом данного круга и полудиагональю равновеликого квадрата. Математические расчёты показывают, что в нашем случае точность уже 0,53% в сторону уменьшения площади квадратуры круга. Точность довольно высокая, вполне устраивающая практические нужды древних архитекторов.
Геометрическое решение задачи.
1.На чистом листе бумаги произвольным раствором циркуля очерчиваем круг.
2. Через центр круга - точку 0 с помощью линейки проводим прямую линию, несколько выходящую за границу круга. Обозначим эту прямую буквой α; одну из точек пересечения прямой α с кругом, обозначим буквой А. Отрезок ОА, прямой α равен радиусу круга.
3. С помощью циркуля и линейки через центр круга построим другую прямую линию, перпендикулярную прямой α, которая также выходит за границу круга; обозначим эту прямую буквой α₁.
4. В четверти круга, соседствующей с отрезком ОА, через точку 0 под острым углом (удобно при дальнейших геометрических построениях) к прямой α проводим прямую b, которая выходит за границу круга. Прямые α и b являются сторонами острого угла.
5. Из точки 0 на прямой b циркулем последовательным образом откладываем 5 равных отрезков произвольной длины и обозначаем концы четвёртого и пятого отрезков соответственно буквами В и В₁. Очевидно, что отрезок ОВ состоит из четырёх равных отрезков ВВ₁, а отрезок ОВ₁ из пяти отрезков ВВ₁;
6. С помощью линейки соединим точку А с точкой В.
7. Через точку В₁ по «правилу параллелограмма» проведём прямую, параллельную отрезку АВ, которая пересекает прямую α в точке А₁.
8. Из центральной точки круга раствором циркуля, равным ОА₁, откладываем такие же отрезки на трёх других перпендикулярных полупрямых и обозначаем точки пересечения буквами D, C и E .
9. Наконец, концы всех четырёх отрезков - ОА₁, ОD, OC и OE последовательным образом соединяем и получаем искомый квадрат А₁DCE, площадь которого равна площади данного круга.