Уравнение колебаний полусферы

[Lesobrod]

Никак не получается корректно составить уравнение
колебаний тонкой полусферы.
Вот это уравнение для тонкого диска:
c^{-2} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=r^{-2} \frac{\partial^2u}{\partial \theta^2}+r^{-1} \frac{\partial}{\partial r} ( r \frac{\partial u}{\partial r})
Здесь с - скорость звука в материале. Плюс начальные условия для u и производной по времени,
плюс условие на краю и периодичность по \theta
Пытаюсь написать для полусферы - получается для шара
Помогите, кто знает!!
В книге Рэлея есть подробное рассмотрение, но там пропущено
основное уравнение.

[Андрей123]

Посмотрите выводы уравнений в теории оболочек.

[Lesobrod]

Нашел и вывод, и уравнение для оболочки конечной толщины.
Содержит лапласиан 4-ой степени;не очень подходит для численного решения. Продолжаю искать для бесконечно тонкой полусферы