Появление неэлементарных функций

[AD]

Yarkin в сообщении #201793 писал(а):

Вот то, что написано в скобках, можно взять за основу классификации этих функций.

Прикольная классификация. 99% встречавшихся до XX века функций попадут в класс $C^\infty$.

[e7e5]

Someone писал(а):

В задаче 24 определяется: функция, изображение которой имеет вид $\frac{p^{k-1}}{p^n-1}$ ($k=1,2,\ldots,n$), называется $k$-тым гиперболическим синусом порядка $n$.

Они, разумеется, элементарные. Как и все функции, имеющие рациональное изображение.
Конкретно для $n=3$ получаются следующие функции:

$$\text{при $k=1$: }\varphi_3(x)=\frac 13\left(e^x-e^{-\frac x2}\left(\cos\frac{x\sqrt{3}}2+\sqrt{3}\sin\frac{x\sqrt{3}}2\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\text{,}$$

$$\text{при $k=2$: }\varphi_2(x)=\frac 13\left(e^x-e^{-\frac x2}\left(\cos\frac{x\sqrt{3}}2-\sqrt{3}\sin\frac{x\sqrt{3}}2\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}\text{,}$$

$$\text{при $k=3$: }\varphi_1(x)=\frac 13\left(e^x+2e^{-\frac x2}\cos\frac{x\sqrt{3}}2\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}\text{.}$$

Не в тему, но могли бы Вы расписать, как они появились. Вот с суммами ( в правой части) очевидно, если подставлять разные индексы $r=1,2,3$ в "определение" гиперболических функций третьего порядка, а вот изображениями и левой частью при $k=1,2,3$? Здесь я "плаваю"

[Yarkin]

AD писал(а):

Yarkin в сообщении #201793 писал(а):

Вот то, что написано в скобках, можно взять за основу классификации этих функций.

Прикольная классификация. 99% встречавшихся до XX века функций попадут в класс $C^\infty$.

Да, если не связывать с порядком д.у. Но если связать, то каждая функция будет иметь свой порядок или относиться к какому-то классу.

[AD]

Yarkin в сообщении #201893 писал(а):

Но если связать, то каждая функция будет иметь свой порядок

Неверно. Всякая функция класса $C^\infty$ будет при таком подходе иметь все порядки сразу.

[Yarkin]

AD писал(а):

Yarkin в сообщении #201893 писал(а):

Но если связать, то каждая функция будет иметь свой порядок

Неверно. Всякая функция класса $C^\infty$ будет при таком подходе иметь все порядки сразу.

Теоретически, да. Но, когда мы говорим д. у. Бесселя, то мы не подразумеваем д.у. всех порядков, а имеем в виду д.у. только второго порядка. Следовательно, можно при желании, для каждой гладкой функции назвать, именно ее, (родное) д.у.

[AD]

Yarkin в сообщении #201957 писал(а):

Следовательно, можно при желании, для каждой гладкой функции назвать, именно ее, (родное) д.у.

Ну вот я, в соответствии со своим желанием, называю родным д.у. функции $F$ вот такое: $y'=F'$. И чем докажете, что оно не родное или не именно ее??

Добавлено спустя 58 секунд:

Прошу отделить весь этот Yarkinский бред в отдельную тему.

[Someone]

e7e5 в сообщении #201851 писал(а):

Не в тему, но могли бы Вы расписать, как они появились. Вот с суммами ( в правой части) очевидно, если подставлять разные индексы $r=1,2,3$ в "определение" гиперболических функций третьего порядка, а вот изображениями и левой частью при $k=1,2,3$? Здесь я "плаваю"

Ну посмотрите, например, http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/oper/oper.htm или http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/starkov/tfkp-operations.pdf. Во втором пособии пример 18 похож на первую из этих функций.

[e7e5]

Someone писал(а):

Ну посмотрите, например, http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/oper/oper.htm или http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/starkov/tfkp-operations.pdf. Во втором пособии пример 18 похож на первую из этих функций.

Спасибо. С получением оригинала функции по изображению ясно для вида
$\frac{p^{k-1}}{p^n-1}$ ($k=1,2,\ldots,n$.
Но как именно сумма справа получилась?

$$\text{при $k=1$: }\varphi_3(x)=\frac 13\left(e^x-e^{-\frac x2}\left(\cos\frac{x\sqrt{3}}2+\sqrt{3}\sin\frac{x\sqrt{3}}2\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\text{,}$$

[Someone]

Выразите тригонометрические функции через показательную и разложите в степенной ряд.

[lofar]

AD писал(а):

Yarkin в сообщении #201957 писал(а):

Следовательно, можно при желании, для каждой гладкой функции назвать, именно ее, (родное) д.у.

Ну вот я, в соответствии со своим желанием, называю родным д.у. функции $F$ вот такое: $y'=F'$. И чем докажете, что оно не родное или не именно ее??

Кажется, я понимаю о чем хочет сказать Yarkin. Здесь, видимо, может идти речь о чем-то сродни расширению полей из алгебры. Класс функций, замкнутый относительно арифметических операций и композиции назовем хорошим. Класс всех полиномов хороший. Элементарные функции это тоже хороший класс. Теперь степенью функции $f$ над хорошим классом $A$ назовем такое минимальное $n$, что $f$ является решением линейного ДУ степени $n$ с коэффициентами из $A$.

Уверен, что это давно изученный вопрос.

[AD]

lofar писал(а):

Кажется, я понимаю о чем хочет сказать Yarkin.

Вот кабы он еще сам это понимал ...

lofar писал(а):

Теперь степенью функции $f$ над хорошим классом $A$ назовем такое минимальное $n$, что $f$ является решением линейного ДУ степени $n$ с коэффициентами из $A$.

Согласен, забавное определение. Но все равно слишком многие функции будут первой степени (гораздо больше, чем заявляет Yarkin, который, видимо, считает, что синус - "второго порядка"), поэтому не думаю, что это имеется ввиду.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ну вот я, в соответствии со своим желанием, называю родным д.у. функции $F$ вот такое: $y'=F'$. И чем докажете, что оно не родное или не именно ее??
Прошу отделить весь этот Yarkinский бред в отдельную тему.

Во всем давать отрицательный ответ! А ведь есть понимающие, хотя пишут мало:

lofar писал(а):

Кажется, я понимаю о чем хочет сказать Yarkin. Здесь, видимо, может идти речь о чем-то сродни расширению полей из алгебры. Класс функций, замкнутый относительно арифметических операций и композиции назовем хорошим. Класс всех полиномов хороший. Элементарные функции это тоже хороший класс. Теперь степенью функции $f$ над хорошим классом $A$ назовем такое минимальное $n$, что $f$ является решением линейного ДУ степени $n$ с коэффициентами из $A$

Прекрасное понимание и помощь в формулировке!

lofar писал(а):

Уверен, что это давно изученный вопрос.

На мой взгляд уверенность не обоснована. В мат. литературе я этого не встречал. Кроме того, если бы это было так, то этот "класс функций" был бы систематизирован. Не встречал я нигде и теорию влияния арифметических действий между этими функциями на изменение порядка д.у., которому удовлетворяет результирующая функция. Например, экспоненциальная функция удовлетворяет д.у. первого порядка, но ее можно представить как сумму двух тригонометрических функций, каждая из которых удовлетворяет д. у. второго порядка. Такие же примеры я видел и с цилиндрическими фуекциями. Но анализа этого я не встречал.

AD в сообщении #202208 писал(а):

поэтому не думаю, что это имеется ввиду

Вы всегда так думаете.

[AD]

Yarkin в сообщении #202382 писал(а):

Прекрасное понимание и помощь в формулировке!

Теперь lofar Вами заведует? Ну и как успехи? Я свободен? Или еще класс "хороших функций" нужно телепатически выведать?

Yarkin в сообщении #202382 писал(а):

На мой взгляд уверенность не обоснована. В мат. литературе я этого не встречал.

Это о многом говорит, да ... Думаю, lofar думал, в частности, о том, что хорошо известны способы доказательства невозможности взять интеграл в элементарных функциях, а это есть частный случай рассматриваемой проблемы.

Добавлено спустя 3 минуты 25 секунд:

Yarkin в сообщении #202382 писал(а):

Вы всегда так думаете.

Конечно. Я ж не телепат, в отличие от lofarа.

[Yarkin]

AD в сообщении #202611 писал(а):

Теперь lofar Вами заведует? Ну и как успехи? Я свободен? Или еще класс "хороших функций" нужно телепатически выведать?

Выворот

AD в сообщении #202611 писал(а):

хорошо известны способы доказательства невозможности взять интеграл в элементарных функциях, а это есть частный случай рассматриваемой проблемы.

Интересно. 'Яркинский бред" перешел в "проблему"?

AD в сообщении #202611 писал(а):

Я ж не телепат

Это здесь ни причем.

[AD]

Yarkin в сообщении #202692 писал(а):

Интересно. 'Яркинский бред" перешел в "проблему"?

Нет, Ваш бред так бредом и остался. Проблема принадлежит lofarу. А что "Вы так и думали, но сказать не могли", не убеждает. Это когда двоешник на уроке ничего ответить не может, потом ему сообщают правильный ответ, а он и говорит: "Я знал". Или - еще прикольнее - "Так я это и сказал, а никто не слышал".