Появление неэлементарных функций

[AD]

Cave в сообщении #200435 писал(а):

Приведите пример для указанных функций.

Любая гладкая функция $F$ удовлетворяет уравнениям $y'=F'$, $y''=F''$, ... Смешно слушать, будто бы порядок уравнения, которому удовлетворяет функция, является ее содержательным свойством.

[Yarkin]

AD писал(а):

Cave в сообщении #200435 писал(а):

Приведите пример для указанных функций.

Любая гладкая функция $F$ удовлетворяет уравнениям $y'=F'$, $y''=F''$, ... Смешно слушать, будто бы порядок уравнения, которому удовлетворяет функция, является ее содержательным свойством.

По моему этот ответ предназначен мне. Смейтесь! В перерывах установите отсутствие влияния порядка д.у. между функциями $e^x, \sin x, \cos x$. Зачем же тогда устанавливать д.у., которому удовлетворяет изучаемая функция?

[AD]

Yarkin в сообщении #200900 писал(а):

Зачем же тогда устанавливать д.у., которому удовлетворяет изучаемая функция?

Еще раз повторяю: каждая функция удовлетворяет целому континууму разных д.у. Из того, что функция удовлетворяет д.у. какого-то порядка, про функцию вывести нельзя НИЧЕГО (ну, разве что, класс гладкости оценить).

Хотя из удовлетворения конкретному д.у. можно навыводить много всего.

Yarkin в сообщении #200900 писал(а):

В перерывах установите отсутствие влияния порядка д.у. между функциями $e^x, \sin x, \cos x$.

Еще раз спрашиваю: что это за "грезы белой лошади" (с) ewert ?

Причина редактирования: исправил копирайт.

[Алексей К.]

e7e5:

Brukvalub в сообщении #82743 писал(а):

Посмотрите, например, статью Прасолова вот в этом выпуске "Математического просвещения" : http://www.mccme.ru/free-books/matpros8.html

Насколько я помню, там было и строгое определение (описание) элементраной функции

[Pi]

Алексей К. в сообщении #201631 писал(а):

строгое определение элементраной функции

Элементарные функции устанавливаются просто перечислением их.
Ну в общем это некий конечный полином из степенных-показательных функций и обратных к ним функций в комплексном пространстве.

[Nxx]

Pi писал(а):

Алексей К. в сообщении #201631 писал(а):

строгое определение элементраной функции

Элементарные функции устанавливаются просто перечислением их.
Ну в общем это некий конечный полином из степенных функций и обратных степенных функций в комплексном пространстве.

Точнее, не полином, а отношение полиномов. Плюс еще логарифмы. В общем, это все, что можно выразить семью математическими действиями.

[Pi]

логарифмы - это обратная степенная функция тоже

[ewert]

Pi в сообщении #201653 писал(а):

логарифмы - это обратная степенная функция тоже

Кстати, нет. Обратная к степенной -- это корень. Логарифм же -- обратная к показательной. Вот если последнюю добавить к многочленам, тогда да -- все элементарные функции этим (с подразумевающимися наворотами) и исчерпываются.

[Pi]

ewert в сообщении #201659 писал(а):

Вот если последнюю добавить к многочленам, тогда да -- все элементарные функции этим (с подразумевающимися наворотами) и исчерпываются.

Я именно это и имел ввиду.

[e7e5]

Pi писал(а):

ewert в сообщении #201659 писал(а):

Вот если последнюю добавить к многочленам, тогда да -- все элементарные функции этим (с подразумевающимися наворотами) и исчерпываются.

Я именно это и имел ввиду.

Я еще не добрался до статьи Математического Просвещения, но вот гиперболические функции третьего порядка - это элементарные или нет функции?

Вроде, получается, что элементраные...

[Someone]

e7e5 в сообщении #201767 писал(а):

гиперболические функции третьего порядка - это элементарные или нет функции?

Что Вы называете "гиперболическими функциями третьего порядка"?

[e7e5]

Someone писал(а):

Что Вы называете "гиперболическими функциями третьего порядка"?

$\phi_r(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{3n+r-1}} {(3n+r-1)!}$, r=1,2,3.

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

так что $\phi_1+\phi_2+\phi_3=e^x$

[Yarkin]

e7e5 писал(а):

$\phi_r(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{3n+r-1}} {(3n+r-1)!}$, r=1,2,3.

Определение не соответствует названию, а $r$ называют индексом.

[Someone]

А, вспомнил, где я их встречал. В задачнике по операционному исчислению:

Ф.А.Шелковников, К.Г.Такайшвили. Сборник упражнений по операционному исчислению. Москва, "Высшая школа", 1976.

В задаче 24 определяется: функция, изображение которой имеет вид $\frac{p^{k-1}}{p^n-1}$ ($k=1,2,\ldots,n$), называется $k$-тым гиперболическим синусом порядка $n$.

Они, разумеется, элементарные. Как и все функции, имеющие рациональное изображение.
Конкретно для $n=3$ получаются следующие функции:

$$\text{при $k=1$: }\varphi_3(x)=\frac 13\left(e^x-e^{-\frac x2}\left(\cos\frac{x\sqrt{3}}2+\sqrt{3}\sin\frac{x\sqrt{3}}2\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\text{,}$$

$$\text{при $k=2$: }\varphi_2(x)=\frac 13\left(e^x-e^{-\frac x2}\left(\cos\frac{x\sqrt{3}}2-\sqrt{3}\sin\frac{x\sqrt{3}}2\right)\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}\text{,}$$

$$\text{при $k=3$: }\varphi_1(x)=\frac 13\left(e^x+2e^{-\frac x2}\cos\frac{x\sqrt{3}}2\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}\text{.}$$

[Yarkin]

AD в сообщении #201077 писал(а):

Из того, что функция удовлетворяет д.у. какого-то порядка, про функцию вывести нельзя НИЧЕГО (ну, разве что, класс гладкости оценить).

Вот то, что написано в скобках, можно взять за основу классификации этих функций. Но это мое мнение.