Почему волновая функция комплексна?

[AlexNew]

ursa писал(а):

Ну не совсем уж, а сильно частично )) не в тему По-моему, просто унитарные операторы даже "круче" эрмитовых будут, не то что уж симметричных )) Я же не говорю, что эрмитов = унитарный.

Вы просто не знаете основ, унитарные операторы - это почти тоже самое что ортогональные, описывающие вращение систем координат или сдвиги, как вы заметили сохраняют "длину" вектора.
эрмитовы обеспечивают действительность спектра, как видно совершенно разные звери.
Более того они вполне могут быть действительными.

olegandron писал(а):

Свободное электромагнитное поле описывается двумя действительными компонентами поля. Каждая из этих компонент подчиняется волновому уравнению, независимо от другой компоненты.

не 2-мя а 6-ю (у вас ведь векторы) но лучше 4-мя компонентами, запись уавнений ЭМ поля через 4-потенциал.

olegandron писал(а):

Их независимость определяется законом дисперсии. Закон дисперсии позволяет двум компонентам распасться на две компоненты.
Для свободноо электронного поля, уравнение для двух компонент не может распасться на два независимых уравнения, из за закона дисперсии для свободного электрона.

в этом наверное что-то есть...

[olegandron]

Я хочу отметить, что именно двумя. Электромагнитная волна в вакууме описывается только двумя компонентами. Одна определяется направлением поляризации, а вторая перпендикулярная к ней.
Электромагнитное поле, в общем случае, конечно описывается 6 компонентами, но они все выражаются через 4 компоненты 4-вектора потенциала. Из этих четырех компонент одну можно отбросить из-за градиентной инварианности, а в вакууме можно занулить еще одну, опять же из-за градиентной инвариантности. Итого только две.

[AlexNew]

хм... тоесть у вас 2 вектора: к - направление плоской волны (любую волну можно разложить на плоские), и вектор описывающий поляризацию, который можно предстявить 2 независимыми компонентами... фактически 2 независимых скалярных волны... да, имеет смысл, я думаю.

Добавлено спустя 18 минут 52 секунды:

вот что мне не нравится у вас

olegandron писал(а):

Таким образом, если вернуться к электронной волне, то получается, что комплексность ее связана просто с тем, что и электронную волну нужно описывать двумя полями.

комплексность - это следствие волнового уравнение,
A exp(i(kx -wt)) - это просто решение скалярного волнового уравнения.
с другой стороны можно описывать вращение вектора поляризации с помощью комплексного числа тоже, это разные вещи.

[olegandron]

Ранее я приводил аналогию между гармоническим осциллятором в механике и стоячим электромагнитным полем в точке, а также электронным полем в точке. Я упомянул, что двухкомпонентность всех их связана с сохранением энергии. Однокомонентное поле не удовлетворяет закону сохранения энергии. Там я также упомянул, что плотность энергии для электронной волны, в отличие от электромагнитной волны, которая также выражается через сумму квадратов компонент, ограничена в силу принципа Паули. Поскольку в каждом состоянии не может быть два электрона, следовательно, и сумма квадратов компонент при интегрировании по объему можно нормировать только на единицу, а следовательно, эта сумма квадратов компонент сильно смахивает на плотность вероятности.

Добавлено спустя 17 минут 56 секунд:

Да, хочу добавить. Конечно комплексные числа используют в разных задачах, но это только математический формализм, хороший математический формализм. Вращение поляризации можно описывать с помощью комплексных чисел, а можно и не описывать. Можно описывать ее с помощью двух действительных величин. Мне кажется важным понять физическую сущность за частоколом математических построений. Я уже писал, что как только студенту пишут комплексное уравнение Шредингера и комплексную волновую функцию, понимание отрубается сразу.

[zbl]

Pi писал(а):

Потому-что это следует из уравнения Дирака, которое согласуется с данными измерения частиц с полуцелым спином.

ursa писал(а):

В принципе, понятно ))

Ну, раз понятно, можно и запутывать.
Вот цепочка рассуждений о том, откуда берётся спин и как он определяет многокомпонентность волновой функции.
Рассмотрим составную систему: её волновая функция из-за орбитального момента как раз будет представлять собой набор компонент, преобразующийся по неприводимым представлениям группы вращений (при замене координат).
Как конкретно это получается -- см. букварь (лучше всего Л.Л.).
Теперь рассуждение Ландау: так как мы не можем отличить составную систему от элементарной (но это ни от куда не следует! -- одна из очень немногочисленных явных ошибок в курсе Л.Л.), то мы обязаны приписать и элементарной частице орбитальный момент, за тем исключением лишь, что он не будет пробегать целые числа, так как отпадает требование, которое то вынуждает (какое именно требование -- см. букварь).
Ошибка Ландау в том, что спин -- это релятивистское свойство, и его нельзя ну никак получить в нерелятивистской квантовой механике; но рассуждение -- разумеется -- верное.
Осталось добавить только, что в релятивистской теории, так как там элементарные частицы могут превращаться друг в друга, мы не в состоянии отличить составную систему от элементарной, и должны...

Добавлено спустя 4 минуты 33 секунды:

olegandron писал(а):

Я смотрю на то, что я написал, никто не понял.

Лично я, да, -- ничччё не понял; даже приблизительно, о чём речь.
Можно это как-то резюмировать: волновая функция комплексна, потому что...

olegandron писал(а):

Подкидываю следующую идею.

И здесь лично у меня аналогичная ситуация...
Ничччего не понимаю...

[AlexNew]

zbl писал(а):

Осталось добавить только, что в релятивистской теории, так как там элементарные частицы могут превращаться друг в друга, мы не в состоянии отличить составную систему от элементарной, и должны...

на самом деле это все не интерестно :- ),
интерестно понимать что от куда следует и почему физическая система описывается именно так как описывается, мне кажется не многие понимают.

на самом деле, ну какая нам разница, скалярное там поле или мультикомпонентное, просто нужно четко понимать зачем каждая компонента нужна и почему она преобразуртся так как преобразуется.

Уравнение Дирака не надо трогать, вопрос ведь почему волновая функция комплексная, а не почему она биспинор : ) вы ведь не станете утверждать что в нерелятивистской КМ можно оойтись действительной волновой функцией?

olegandron писал(а):

Однокомонентное поле не удовлетворяет закону сохранения энергии.

1) это не так.
2) вы расматриваете перекачку энергии между воланами (2 мя компонентами) но сами забыли что связали поляризацию с этими компонентами, а значит для линейной поляризации нет такой перекачки
3) вы рассматривали стоячие волны, там энергия перекачивается с генератора в волну и обратно.

[olegandron]

Цитата:

вы рассматривали стоячие волны, там энергия перекачивается с генератора в волну и обратно.

Это неправда.
Если взять две компоненты электромагнитного поля .

$$\vec E$$

и

$$\vec B$$

для стоячей волны.
.

$$\vec E_x=2\vec E_x_0 cos(\omega t)sin(kz)$$

.

$$\vec B_y=2\vec B_y_0 sin(\omega t)cos(kz)$$

Если проинтегрировать по длине периода стоячей волны, то увидим, что энергия никуда ни в какой истоник не девается, а остается в области одного периода, а каждая компонента колеблется во времени, одна по синусу, другая по косинусу. А сумма их квадратов, то есть энергия, остается постоянной. Да, забыл сказать, что модули .

$$\vec E_x_0$$

и

$$\vec B_y_0$$

для стоячей волны одинаковы по величине.
И прошу не путать стоячую волну со свободно распространяющейся в пространстве, там немного другая физика.

[Dolopihtis]

Наверное, комплексность волновой функции можно считать выражением того факта, что калибровочная группа электродинамики U(1) изоморфна группе комплексных чисел с модулем 1.

[ewert]

AlexNew в сообщении #201022 писал(а):

унитарные операторы - это почти тоже самое что ортогональные, описывающие вращение систем координат или сдвиги, как вы заметили сохраняют "длину" вектора.
эрмитовы обеспечивают действительность спектра, как видно совершенно разные звери.

И тем не менее -- они друг друга пересчитываются. Причём разными способами. И с точки зрения квантовой механики принципиально, что унитарным будет оператор эволюции, порождаемый любым эрмитовым. Но верно это будет только в комплексном гильбертовом пространстве, а вот в вещественном -- отнюдь.

[Pi]

AlexNew в сообщении #201052 писал(а):

интерестно понимать что от куда следует и почему физическая система описывается именно так как описывается, мне кажется не многие понимают.

А почему "волновая функция " называется "амплитудой вероятности", , а почему она "комплексная" а не "вещественная", а почему "волна" описывает "частицу", а почему "релятивисткий" случай оличается от "нерелятивиского"................................ и тд.......................
На все эти вопросы в современной физике нет ответа, многие вещи имеют произвольные названия. Сейчас в физике про вещи просто следует говорить что они описываются следующимим формулами, а названия это просто набор звуков.
Поэтому на вопрос

olegandron в сообщении #198717 писал(а):

Почему волновая функция комплексна?

никто точно ответить не может, только предложить свою гипотезу что для альтернативных дискуссионных тем, поскольку не доказуемо или просто сводится к другому равнозначному "почему?". (Например, а почему она имеет группу U(1)?)

[zbl]

Pi писал(а):

Поэтому на вопрос

olegandron в сообщении #198717 писал(а):

Почему волновая функция комплексна?

никто точно ответить не может, только предложить свою гипотезу что для альтернативных дискуссионных тем, поскольку не доказуемо или просто сводится к другому равнозначному "почему?". (Например, а почему она имеет группу U(1)?)

Это очень опасная точка зрения.
Практический смысл вопроса "почему так, а не иначе?" в том, чтобы понять, как именно строятся подобные теории -- какие элементы в них главные, и каким явлениям и как именно эти главные элементы соответствуют.
Пока нужен только прикладной расчёт управляющих уравнений -- беспроблем.
Но другое дело, если нужно придумать новую теорию там, где теории пока нет.
Тут уже может не получиться по наитию думать, думать и раз, придумать новую теорию -- приходиться вести поиск целенаправленно.
Вот тут-то и приходится иметь представление о том, как именно разные теории связаны друг с другом и с реальностью.
Современная наука столь сложна, что принцип "эх соображу" уже не работает.
А означенная точка зрения -- это как раз пропаганда такого подхода к поиску новых теорий.

Добавлено спустя 9 минут 49 секунд:

AlexNew писал(а):

вопрос ведь почему волновая функция комплексная

Тогда, аналогичный вопрос: почему длина вещественная, а не целая?
То есть, нужно задавать вопрос: чем вещественная длина отличается от комплексной волновой функции?
Либо, что тоже самое: чем длина-оператор, отличается от длины-вещественного-числа?

[Pi]

zbl в сообщении #201160 писал(а):

Практический смысл вопроса "почему так, а не иначе?" в том, чтобы понять, как именно строятся подобные теории -- какие элементы в них главные, и каким явлениям и как именно эти главные элементы соответствуют.

Я же сказал - сейчас точно никто ответить не может "почему?" - только гипотизы, а альтернативных теорий пруд пруди.
И в общем этот вопрос поставлен не коректно, только в рамках какой-то "теории" можно дискутировать почему эта теория объясняет эти "почему".
А так это просто перечисления теорий (которые на самом деле ничего не объясняют - а просто отсылают к стольже не понятным "почему"), и что характерно, даже без названий.

[zbl]

Pi писал(а):

И в общем этот вопрос поставлен не коректно, только в рамках какой-то "теории" можно дискутировать почему эта теория объясняет эти "почему".

Вопрос "почему" некорректный, разумеется.
Но мы тут, вроде бы, его корректно творчески понимали: какому явлению природы соответствует комплексность волновой функции; либо, чем вещественные физвеличины отличаются от комплексной волновой функции физически; либо, в терминологии Дирака, чем квантовые q-числа отличаются от классических c-чисел физически.
Мы же понимаем, чем масса от длины отличается; осталось только расширить понимание до отличия импульса от оператора импульса.
А если нужна метатеория, так есть оно -- хоть бы методология науки, туда её в качель.

[AlexNew]

zbl писал(а):

Практический смысл вопроса "почему так, а не иначе?"

Да!

zbl писал(а):

в том, чтобы понять, как именно строятся подобные теории -- какие элементы в них главные, и каким явлениям и как именно эти главные элементы соответствуют.

да!

zbl писал(а):

То есть, нужно задавать вопрос: чем вещественная длина отличается от комплексной волновой функции?
Либо, что тоже самое: чем длина-оператор, отличается от длины-вещественного-числа?

все верно, ответы на подобные вопросы вопросы как раз и дают понимание!
Суть понимание как раз и состоит в возможности видеть почему данная мат. модель выбрана из множества альтернативных.

к сожалению в букварях просто приводят краткое описание модели и сборник рецептов ее применения.
Современная физика это просто пазор :- ) Суть, самое важное из достигнутого, спрятана глубже всего.

Например кто мешает рассмотреть все модели описывающие физическое явление и свести в табличку "+" "-" каждой с сылкой на базовые эксперименты.
Любая теория это как правило несколько различных блоков, которые можно рассмотреть и "обосновать" по отдельности
Есть всего несколько подобных работ, в то время как существют тысячи учебников и статей в которых одно и тоже с небольшими вариациями переписывается с первоисточников и других учебников.

Создается эллюзия что та модель которая используется большинством единственно правельная.
При этом на элементарные вопросы по применению этой модели ответить может небольшой процент.
позор большинству : )
Наверное основой такого положения послужило невежество, и желание незнаяк спрятаться за плечи авторитетов.

Добавлено спустя 8 минут 19 секунд:

по поводу комплексной волновой функции:
уравнение Шреденгера как и любое другое подобное уравнение, дает ответ в виде комплексной функции, что отражает симметрию пространства (сдвиги, или повороты - зависит от симметрии задачи )
далее дифференц уравнение заменяют операторным, сохраняя компл. функцию. Но можно обойтись и действительными операторами.

как только мы записали все в операторной форме начинают вылазить странные особености связанные с комплексностью:
например интерференция вероятностей при переходе из одного состояния в другое...
мне далеко не все понятно как эта модель прикручивается к реальности.

[ursa]

AlexNew писал(а):

Более того они вполне могут быть действительными.

Но, в общем случае, комплексные. Ладно, оставим унитарные операторы в покое.
А я вот вам книгу предложу http://lib.mexmat.ru/books/6917 (стр. 2-10)
Оказывается, тут очень неплохо рассматривается этот вопрос. Автор начинает с рассмотрения Stern-Gerlach experiment и"sequential experements”.(см там же) и проводит аналогию математического описания их результатов с описанием поляризации света.
Итого, пишет:

Цитата:

We thus see that the two dimensional vector space needed to describe the spin states of silver atoms must be a complex vector states; an arbitrary vector in vector space is written as a linear combination of the base vectors |Sz;+-)with, in general, complex coefficients. The fact that the necessity of complex numbers is already apparent in such an elementary example is rather remarkable

Если кому интересно, можно написать поподробнее.