среднее время горения лампочки

[Charlie]

Henrylee писал(а):

В том виде как Вы написали выше, постановка некорректна. Но в контексте этой задачи например вероятность хотя бы одного включения за время $2a$ равно $1-(1-p)^2$

И почему же $1-(1-p)^2$ а не $2p$ ? Там в задаче разве написано про какой-нибудь неравномерный закон распределения вероятности включения лампы. Ведь вероятность в задаче распределена равномерно и не зависит от времени ?

Henrylee писал(а):

А все потому, что реле может сработать только в определенные моменты времени ... включения возможны только в определенные моменты времени.$an$.

Ну так это только у вас есть реле которое срабатывает в определённые моменты времени а не в случайные. А в задаче лампа загорается случайно и там нет ни реле ни привязки или дискретизации что ли с периодом $n$ включений лампы. Она может загореться в любой момент а не только в моменты $an$.

Или тогда может объясните какой смысл тут :
"Каждые $a$ секунд с вероятностью $p$ происходит включение лампочки на $b$ секунд..."

- если лампочка включается каждые $a$ секунд тогда зачем указывать вероятность её включения если она и так (по вашему) включается всегда каждые $a$ секунд ?
Или задача поставлена не корректно ?

Henrylee писал(а):

вот именно, что "приблизительно одно", но вероятность этого самого "приблизительно одного" вычислить уже никак нельзя, не говоря уже о том, что это "приблизительно одно" не определено никак.

Какжэто нельзя вычислить, а мы тут тогда чем занимаемся ?

[TOTAL]

На дороге (временной оси) с интервалом $a$ метров расставим фонари, которые светят вдоль дороги все в одну сторону и каждый бьет на расстояние $b$ метров. Встав в произвольную точку дороги, окажемся в темноте, если у всех фонарей, в зоне поражения которых находимся, разбита лампочка. Отсюда получаем вероятность оказаться в темноте (долю тёмного времени в исходной формулировке):

$P=(1-s)(1-p)^{k} + s(1-p)^{k+1},$ где $b=(k+s)a,$ $k$- целое, $0<s \le 1$

Например, $b=2a, k=1, s=1, P=(1-p)^{2}$

[Henrylee]

Charlie писал(а):

Henrylee писал(а):

В том виде как Вы написали выше, постановка некорректна. Но в контексте этой задачи например вероятность хотя бы одного включения за время $2a$ равно $1-(1-p)^2$

И почему же $1-(1-p)^2$ а не $2p$ ?

Почитайте про схему Бернулли. Она дает прямой ответ на этот Ваш вопрос.

Charlie писал(а):

Henrylee писал(а):

А все потому, что реле может сработать только в определенные моменты времени ... включения возможны только в определенные моменты времени.$an$.

Ну так это только у вас есть реле которое срабатывает в определённые моменты времени а не в случайные. А в задаче лампа загорается случайно и там нет ни реле ни привязки или дискретизации что ли с периодом $n$ включений лампы. Она может загореться в любой момент а не только в моменты $an$.

Чета с два:

Убертин писал(а):

Каждые a секунд с вероятностью p происходит включение лампочки

Charlie писал(а):

Или тогда может объясните какой смысл тут :
"Каждые $a$ секунд с вероятностью $p$ происходит включение лампочки на $b$ секунд..."

- если лампочка включается каждые $a$ секунд тогда зачем указывать вероятность её включения если она и так (по вашему) включается всегда каждые $a$ секунд ?

Нет, не всегда. Вы уже об этом говорили, а я уже отвечал.

Charlie писал(а):

Henrylee писал(а):

вот именно, что "приблизительно одно", но вероятность этого самого "приблизительно одного" вычислить уже никак нельзя, не говоря уже о том, что это "приблизительно одно" не определено никак.

Какжэто нельзя вычислить, а мы тут тогда чем занимаемся ?

Вычисляем мы совсем другое.

[Charlie]

Теперь мне понятно.
Я просто считал что "Каждые" - это в течении $a$ секунд лампа может включиться с вероятностью $p$.
Тогда конечно всё по другому...

[ewert]

Henrylee в сообщении #199565 писал(а):

$$\xi_n=\xi_{n-1}+a\eta_n+(b-a)\eta_{n-1}(1-\eta_n)$$

. . . . . . . . . . . . . . . .

$$E\frac1{an}\xi_n\to p+\frac{b-a}{a}p(1-p)=\frac{b}{a}p(1-p)+p^2.$$

С последним нельзя не согласиться, а вот первое действительно хитровато, я бы оформил иначе.

Пусть $b=ka+r$, $k=0,1,2,\ldots$, $r\in[0;a]$ (именно так). Обозначим $\xi_{n+1}=\xi_n+\zeta_n$, где случайная величина $\zeta_n$ отвечает длине засветки участка $[n\,a;\;(n+1)a]$. Эта величина может принимать три значения: $a$, $r$ и $0$. Первый случай ($\zeta_n=a$) реализуется, когда хоть одна из последних $k$ лампочек с номерами $n,n-1,n-2,\ldots$ загорается (независимо от всего остального); вероятность этого события есть $(1-(1-p)^k)$. Вероятность второго случая ($\zeta_n=r$) есть $p(1-p)^k$, поскольку в этом случае должна загореться лампочка с номером $(n-k)$, а все следующие $k$ лампочек вплоть до $n$-й должны быть погашены. Так что матожидание этой величины равно

$$M\left[\zeta_n\right]=a\,(1-(1-p)^k)+r\,p(1-p)^k\equiv B.$$

Т.е. матожидания искомых величин образуют арифметическую прогрессию:

$M\left[\xi_{n+1}\right]=M\left[\xi_{n}\right]+B$ $\Longrightarrow$ $M\left[\xi_{n}\right]=A+B\cdot n.$

И, следовательно, даже независимо от начального участка (величины $A$) имеем

$$\lim\limits_{n\to\infty}M\left[{\xi_{n}\over an}\right]={B\over a}=1-(1-p)^k+{r\over a}\,(1-p)^k.$$

--------------------------------------------------------------------------------------------------
Да, кстати, а в каком смысле понимается

Henrylee в сообщении #199490 писал(а):

1) Думаю, что имеется в виду средняя доля времени горения на бесконечном отрезке времени.

?
Пока что она интерпретируется как асимптотика среднего времени при устремлении промежутка наблюдения к бесконечности. И это само по себе хорошо, конечно, но не очень-то достаточно. Вопрос приобетёт осмысленность, лишь если доказать, что эта доля (как случайная величина) стремится к своему пределу по вероятности. Что вроде бы и верно, но доказывается не совсем уж автоматом.

[Charlie]

ewert писал(а):

Henrylee в сообщении #199490 писал(а):

1) Думаю, что имеется в виду средняя доля времени горения на бесконечном отрезке времени.

?
Пока что она интерпретируется как асимптотика среднего времени при устремлении промежутка наблюдения к бесконечности. И это само по себе хорошо, конечно, но не очень-то достаточно. Вопрос приобетёт осмысленность, лишь если доказать, что эта доля (как случайная величина) стремится к своему пределу по вероятности. Что вроде бы и верно, но доказывается не совсем уж автоматом.

А мне кажется что надо найти отношение математического ожидания времени горения лампы за промежуток $an$ к прмежутку $an$, а затем найти предел этого отношения при $n$ стремящемся к бесконечности. (что не сложно при $b = a$)

Кстати, ewert и Henrylee, а что вы нашли в своих решениях ?
Ведь тут ищется время горения лампы, а у вас в ответах какая-то безразмерная величина? Вероятность похоже, вот только чего ?
А что такое $E$ и $M$ ?

[ewert]

Charlie писал(а):

А мне кажется что надо найти отношение математического ожидания времени горения лампы за промежуток $an$ к прмежутку $an$, а затем найти предел этого отношения при $n$ стремящемся к бесконечности. (что не сложно при $b = a$)

Кстати, ewert и Henrylee, а что вы нашли в своих решениях ?

А мы ровно это и нашли.

Charlie писал(а):

А что такое $E$ и $M$ ?

А это матожидание, которое разные товарищи любят обозначать разными буквами. Вот я лично не люблю $E$ -- она для меня занята характеристической функцией.

[Charlie]

Henrylee писал(а):

Путем (не)хитрых рассуждений замечаем, что

$$ \xi_{n+1}=\xi_n+a(\eta_{n-1}+\eta_n-\eta_{n-1}\eta_n),\quad n\geqslant1 $$

А это ещё что ?
Как можно определять будет ли гореть лампочка на интервале $n+1$ по тому горела ли она на предыдущих интервалах $n-1, n$ ? Ведь события не зависимы.
И вообще если $\eta$ может принимать значения 0 или 1 и то в неизвестный заранее прмежуток времени, какой смысл множителя в скобках ?
А дальше у вас $\eta_0$ не определена.

[ewert]

Charlie в сообщении #199983 писал(а):

А это ещё что ?

А это -- что-то вроде теоремы сложения вероятностей для пересекающихся событий. Мне лично лень было вникать, раз уж идея понятна, а ответ -- правилен.

[Henrylee]

Charlie писал(а):

Henrylee писал(а):

Путем (не)хитрых рассуждений замечаем, что

$$ \xi_{n+1}=\xi_n+a(\eta_{n-1}+\eta_n-\eta_{n-1}\eta_n),\quad n\geqslant1 $$

А это ещё что ?
Как можно определять будет ли гореть лампочка на интервале $n+1$ по тому горела ли она на предыдущих интервалах $n-1, n$ ? Ведь события не зависимы.
И вообще если $\eta$ может принимать значения 0 или 1 и то в неизвестный заранее прмежуток времени, какой смысл множителя в скобках ?
А дальше у вас $\eta_0$ не определена.

Во-первых $\eta_0$ определена. Во-вторых $\xi_{n+1}-\xi_n$ время горения на отрезке $[an,a(n+1)]$. оно может быть равно нуля или $a$. Ноль, если в моменты времени $an$ и $a(n-1)$ реле не срабатывало,т.е. $\eta_n=\eta_{n-1}=0$. И $a$ в остальные моменты времени. Выражение в скобках индикатор события "реле сработало либо в момент $an$ либо $a(n-1)$ либо в оба эти момента"

Добавлено спустя 3 минуты 19 секунд:

Charlie писал(а):

Как можно определять будет ли гореть лампочка на интервале $n+1$ по тому горела ли она на предыдущих интервалах $n-1, n$ ? Ведь события не зависимы.

Независимы только включения реле. А время горения лампочки на разных интервалах как раз зачисмые случайные величины.

[ewert]

Henrylee в сообщении #200015 писал(а):

А время горения лампочки на разных интервалах как раз зачисмые случайные величины.

Вот ровно это я и имел в виду, предлагая на секундочку призадуматься над законом больших чисел.

[Henrylee]

ewert писал(а):

Да, кстати, а в каком смысле понимается

Henrylee в сообщении #199490 писал(а):

1) Думаю, что имеется в виду средняя доля времени горения на бесконечном отрезке времени.

?
Пока что она интерпретируется как асимптотика среднего времени при устремлении промежутка наблюдения к бесконечности. И это само по себе хорошо, конечно, но не очень-то достаточно. Вопрос приобетёт осмысленность, лишь если доказать, что эта доля (как случайная величина) стремится к своему пределу по вероятности. Что вроде бы и верно, но доказывается не совсем уж автоматом.

Вы правы, выбор интерепретации как "средней доли горения на бесконечном промежутке" требует обоснования существования предельной с.в.
Ну вообще последовательность $\xi_n/(an)$ сходится даже п.н. к константе (а именно к ответу) в силу УЗБЧ и эргодической теоремы. (последовательность $\eta_{n-1}\eta_n$ стационарна и вроде эт удовлетворяет, правда не проверял).

[ewert]

да по моим прикидкам там всё гораздо проще. Стандартый ЗБЧ (для независимых величин) опирается на то, что дисперсии просто суммируются. И потому их сумма пропорциональна $n$. А для зависимых -- дисперсия суммы оценивается через $n^2$, что вроде как в общем случае ничего не даёт. Но в нашей-то ситуации зависимыми будут лишь отрезки, отстоящие друг от друга на величину не более $k$. И, следовательно, дисперсия суммы оценивается через $k\cdot n$, и этого -- вполне достаточно, далее -- просто неравенство Чебышёва.

[PAV]

Вообще-то это можно выразить как простую цепь Маркова, состояние которой будет сходиться к стационарному, и для которого вполне себе имеет смысл выражение "доля времени, которую цепь будет находиться с заданном состоянии" или в наборе заданных состояний.