среднее время горения лампочки

[Убертин]

Каждые a секунд с вероятностью p происходит включение лампочки на b секунд, b > a. Если лампочка горит и выпадает событие включения, то таймер b начинается заново, т.е. в этом случае лампочка горит больше чем b секунд. Какую часть бесконечного времени лампочка горит?

[gris]

Если без обновления таймера взять $p=0,5;\, b=2a$, то $pb/a=1$ и лампочка должна гореть практически беспрерывно, но это очевидно не так.

[Убертин]

Да, похоже в первом посте я решил задачу для b < a

Тогда для случая без обновления:

Пусть T - кусок бесконечности когда лампочка не горит

Бесконечность равна

$$ \frac {bpT} a + T$$

Отсюда время горения

$$ \frac {pb} {a + pb} $$

Правильно?

С обновлением таймера пока не осилил
Верно ли будет разделить новый ответ на 1-p?

[Charlie]

За время $T = \frac{a}{P_a}$ вероятность зажигания лампочки будет равна $1$
тогда вероятность того что за время $b$ лампочка включится ещё раз $P_b = \frac{bP_a}{a}$
________________

Сколько в среднем времени будет гореть лампочка, если за время $b$ горения лампы таймер будет срабатывать ещё один раз (с разбросом раньше-позже) ?

Если $\frac{b + 2b}{2} = b(1 + \frac{1}{2})$ секунд , т.е. в среднем время горения лампочки будет увеличиваться на $\frac{1}{2}b$ при срабатывании таймера во время прмежутка $b$

Но в то же время за счет наложения двух включений в промежутке $b$ сумарное время свечения от двух включений сократится на $\frac{1}{2}b$

Разобьём бесконечность времени на интервалы по $T$ сек.
Тогда в среднем
за период $T$ время горения лампочки будет $b$
за период $\frac{T}{P_b}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b} - \frac{b}{2}$
за период $\frac{T}{P_b^2}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^2} - \frac{b}{2P_b} - \frac{b}{2}$
за период $\frac{T}{P_b^3}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^3} - \frac{b}{2P_b^2} - \frac{b}{2P_b} - \frac{b}{2}$

$.............................................................................................$

за период $\frac{T}{P_b^n}$ время горения лампочки будет $\frac{b}{P_b^n} - \frac{b}{2P_b^{n-1}} - \frac{b}{2P_b^ {n-2}} - ... - \frac{b}{2}$

Тогда доля времени горения лампы в процентах:

100% * $\lim{(\frac{b(\frac{1}{P_b^n} - \frac{1}{2P_b^{n-1}} - \frac{1}{2P_b^ {n-2}} - ... - \frac{1}{2})}{\frac{T}{P_b^n}})}$ при $n$ стремящемся к бесконечности.

У меня так получилось.

[Henrylee]

Charlie писал(а):

За время $T = \frac{a}{P_a}$ вероятность зажигания лампочки будет равна $1$

Это почему это?

[Charlie]

Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

[Henrylee]

Charlie писал(а):

Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

Не загорится. А может загореться 10 раз. А может 7. Вообще неизвестно сколько раз может загореться. Это случайная величина, а Вы утверждаете, что константа.

[Архипов]

Убертин писал(а):

Каждые a секунд с вероятностью p происходит включение лампочки на b секунд, b > a. Если лампочка горит и выпадает событие включения, то таймер b начинается заново, т.е. в этом случае лампочка горит больше чем b секунд. Какую часть бесконечного времени лампочка горит?

1) Бесконечное время на части не делится (бесконечно большое число делить на конечное число - будет опять бесконечное число).
2) Процедура не понятна. Если через а секунд возможно событие "горит - не горит", то тогда время горения b секунд роли не играет, так как через а секунд возможно прерывание горения лампы.
Если лампа горит b cекунд, затем возможно прерывание горения на а скунд, то хитрости тоже нет.
Сколько событий могут происходить за время b секунд?

[Henrylee]

Рассмотрим сначала случай попроще, когда $b=2a$.
Пусть $\xi_n$ время горения лампочки на отрезке времени $[0,an]$.
Пусть также $\{\eta_n\}_{n=0}^\infty$ последовательность независимых с.в. Бернулли ($P\{\eta_n=1\}=p$). Будем рассматривать $\eta_n$ как индикатор срабатывания реле в момент времени $an$ (т.e. событие $\{\eta_n=1\}$ - в момент $t=an$ сработало реле, которое включает или "подзаряжает" лампочку еще на время $b=2a$).
Очевидно, в задаче спрашивается о величине

$$ \lim\limits_{n\to\infty}E\left(\frac1{an}\xi_n\right). $$

Путем (не)хитрых рассуждений замечаем, что

$$ \xi_{n+1}=\xi_n+a(\eta_{n-1}+\eta_n-\eta_{n-1}\eta_n),\quad n\geqslant1 $$

Тогда

$$ E\xi_n=E\xi_{n-1}+ap(2-p) $$

Отсюда, учитывая, что $\xi_0=0$, $\xi_1=\xi_0+a\eta_0$

$$ E\xi_n=a(n-1)p(2-p)+ap $$

То есть

$$ E\frac1{an}\xi_n\to p(2-p). $$

Добавлено спустя 2 минуты 36 секунд:

Архипов писал(а):

1) Бесконечное время на части не делится (бесконечно большое число делить на конечное число - будет опять бесконечное число).
2) Процедура не понятна. Если через а секунд возможно событие "горит - не горит", то тогда время горения b секунд роли не играет, так как через а секунд возможно прерывание горения лампы.
Если лампа горит b cекунд, затем возможно прерывание горения на а скунд, то хитрости тоже нет.
Сколько событий могут происходить за время b секунд?

1) Думаю, что имеется в виду средняя доля времени горения на бесконечном отрезке времени.
2) каждый $a$ секунд срабатывает реле, которое зажигаетр лампу, если она не горела или ппродлевает ее горение до момента $t_0+b$ ($t_0$ - время срабаывания реле).
Так я понял задачу.

Добавлено спустя 12 минут 49 секунд:

Для случая $b\not=ka$ можно рассматривать случайный процесс $\xi_t$. Но уже время позднее..

[Убертин]

Совершенно верно, Henrylee, задача именно такова.
Т. е. лампа не может гореть менее b сек никогда и выключается только по окончанию таймера, который каждые а сек имеет шанс перезапуститься не зависимо от того горит лампа или нет

[Charlie]

Henrylee писал(а):

Charlie писал(а):

Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

Не загорится. А может загореться 10 раз. А может 7. Вообще неизвестно сколько раз может загореться. Это случайная величина, а Вы утверждаете, что константа.

Всё правильно, но только если брать один интервал $T$ . А если их тысяча ? Тогда в среднем за тысячу интервалов $T$ мы получим примерно тысячу вспышек лампы.
Как с подбрасыванием монет.

Добавлено спустя 9 минут 20 секунд:

Своё решение я уже исправил, у меня там была ошибка.

В общем я исходил из того, что например если взять $1000$ периодов $T$ , то за это время сумарное время горения лампы будет меньше чем $1000b$ из-за того что когда лампочка горит иногда будет происходить повторное включение, а значит сумарное время от двух повторных включений будет меньше чем если бы два включения произошли с интервалом большим $b$, это из-за того что таймер не досчитав первый интервал до конца перезапустится (по условию задачи).

Добавлено спустя 9 минут 29 секунд:

Henrylee писал(а):

2) каждый $a$ секунд срабатывает реле, которое зажигаетр лампу, если она не горела или ппродлевает ее горение до момента $t_0+b$ ($t_0$ - время срабаывания реле).
Так я понял задачу.

Реле не срабатывает каждые $a$ секунд. Оно может сработать с вероятностью $p$.
Зачем же тогда вероятность $p$ если бы реле и так всегда срабатывало через каждые $a$ секунд ? В условии же задачи так написано.

[Henrylee]

Charlie писал(а):

Реле не срабатывает каждые $a$ секунд. Оно может сработать с вероятностью $p$.

Я это и имел в виду. Вы бы это поняли, если бы прочли мое решение.
Продолжим.
Пусть теперь $a<b<2a$.
В этом случае

$$ \xi_n=\xi_{n-1}+a\eta_n+(b-a)\eta_{n-1}(1-\eta_n),\quad n\geqslant2 $$

$\xi_0=0,~\xi_1=\xi_0+a\eta_0$

$$ E\xi_n=ap+(n-1)\left[ap+(b-a)p(1-p)\right] $$

$$ E\frac1{an}\xi_n\to p+\frac{b-a}{a}p(1-p)=\frac{b}{a}p(1-p)+p^2. $$

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Вы пишите, что исправили решение. Но

Charlie писал(а):

..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.

Charlie Приведите ответ для $b=2a$, полученный Вашим "решением".

[Charlie]

Henrylee писал(а):

Charlie Приведите ответ для $b=2a$, полученный Вашим "решением".

Я бы привел с удовольствием, но я не могу решить предел в моём ответе так как не математик.
И многие обозначения в вашем решении мне не понятны по той же причине поэтому и разобраться я с ним не могу тоже.
Так что как видите со мной бесполезно спорить.

Кстати, Henrylee, как вы считаете, если за время $a$ вероятность включения лампы будет $p$ , то какой будет эта вероятность за время $2a, 3a, 4a, ...$ и наконец за время $\frac{a}{p}$ ?

Добавлено спустя 21 минуту 5 секунд:

Henrylee писал(а):

Будем рассматривать $\eta_n$ как индикатор срабатывания реле в момент времени $an$ (т.e. событие $\{\eta_n=1\}$ - в момент $t=an$ сработало реле, которое включает или "подзаряжает" лампочку еще на время $b=2a$).

И ещё, Henrylee, почему у вас в решении для $b = 2a$ реле срабатывает только в определённые моменты времени $an$ , тогда получается что и лампочку это реле может включить тоже только в определённых точках на оси времени ? Ведь событие включения лампы случайно.

Добавлено спустя 33 минуты 2 секунды:

Henrylee писал(а):

Вы пишите, что исправили решение. Но

Charlie писал(а):

..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.

Я имел ввиду не один отдельно взятый период $T$ , а в среднем если взять много перодов $T$ , то на один период будет приходится приблизительно одно включение лампы с теоритической вероятностью равной $1$ .

А то что лампочка за один период $T$ может загореться и 7 раз а может и ниразу я конечно же с вами согласен.

[Henrylee]

Charlie писал(а):

Кстати, Henrylee, как вы считаете, если за время $a$ вероятность включения лампы будет $p$ , то какой будет эта вероятность за время $2a, 3a, 4a, ...$ и наконец за время $\frac{a}{p}$ ?

В том виде как Вы написали выше, постановка некорректна. Но в контексте этой задачи например вероятность хотя бы одного включения за время $2a$ равно $1-(1-p)^2$
А все потому, что реле может сработать только в определенные моменты времени - $an$. Это ответ на следующий вопрос:

Charlie писал(а):

И ещё, Henrylee, почему у вас в решении для $b = 2a$ реле срабатывает только в определённые моменты времени $an$ , тогда получается что и лампочку это реле может включить тоже только в определённых точках на оси времени ? Ведь событие включения лампы случайно.

Charlie писал(а):

Henrylee писал(а):

Вы пишите, что исправили решение. Но

Charlie писал(а):

..тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

эта глупость как была, так и осталась.

Я имел ввиду не один отдельно взятый период $T$ , а в среднем если взять много перодов $T$ , то на один период будет приходится приблизительно одно включение лампы с теоритической вероятностью равной $1$ .

вот именно, что "приблизительно одно", но вероятность этого самого "приблизительно одного" вычислить уже никак нельзя, не говоря уже о том, что это "приблизительно одно" не определено никак.
Но к данной задаче это вообще не относится. Так как включения возможны только в определенные моменты времени.

Добавлено спустя 8 минут 58 секунд:

о Вашм примере:

Charlie писал(а):

Для Henrylee:
Если к примеру за время $a = 1$ сек вероятность зажигания лампы $P_a = 0.1$ , тогда за время $\frac{a}{P_a} = 10$ сек лампа загорится хоть раз с вероятностью $1$

за время 10 с реле сработает "хоть раз" с вероятностью $1-0.9^{10}\approx 0.6513$

Добавлено спустя 3 минуты 42 секунды:

Charlie писал(а):

Так что как видите со мной бесполезно спорить.

Я с Вами и не спорю, а наставляю на путь истинный
А уж пойдете Вы по нему или свернете, сугубо Ваше личное дело.

[Jnrty]

Jnrty:

Убертин, Вы неправильно записываете формулы и нарушаете правила форума. Даю некоторое время на исправление всех формул, потом отправляю тему в "Карантин".